Динамиканың негізгі заңы.

Еркін нү ктенің қ озғ аушы кү ш ә серінен алғ ан ү деуі осы кү ш бағ ытында болып, мө лшері осы кү ш мө лшеріне пропорционал болады (1.1-сурет). Бұ л заң ның математикалық ө рнегі тө мендегідей жазылады:

F=mа (1.1)

Мұ ндағ ы Ғ - қ озғ аушы кү ш, m - нү ктенің массасы, а - оның ү деуі. (1.1) тү рінде берілген векторлық тең деу нү кте динамикасының негізгі тең деуі делінеді. (1.1)-ден кө ретініміз, белгілі кү ш ә серінде нү ктенің алатын ү деуі тек кү ш мө лшеріне байланысты ғ ана болмастан, нү ктенің массасына да байланысты екендігі.

Егер нү кте тек ө зінің ауырлық кү ші (G) ә серінде жерге еркін тү сетін болса, Ғ = G, а=g болып, (1.1) ө рнек

G=mg (1.2)

тү ріне келеді. Демек, нү ктенің ауырлық кү ші мен массасы ө зара (1.2) тең дікпен байланысты екен.

Егер нү ктенің ауырлық кү ші белгілі болса, оның массасын (1.2) ге сә йкес

m = (1.3)

формуладан табу мү мкіндігі туады.

Халық аралық бірліктер жү йесі (СИ) де масса бірлігі ү шін кг, уақ ыт бірлігі ү шін секунд (1с), ұ зындық бірлігі ү шін метр (1м) қ абылданғ ан. Онда кү ш бірлігі тө мендегідей болады:

[ F ] = [ m ][ a ] =кг = Н (Ньютон).

Демек, массасы 1кг болатын нү ктеге 1м/с² ү деу беретін кү ш Ньютон деп аталады.

3. Ә сер жә не кері ә сер заң ы. Ә р бір ә сер ө зіне тең жә не қ арам-қ арсы кері ә серді келтіріп шығ арады. Басқ аша айтқ анда екі дененің бір - біріне ә серлері ө зара тең жә не қ арам-қ арсы бағ ытталғ ан (1.2-сурет). А дененің В денеге кө рсететін ә сері болса ү шінші заң ғ а сә йкес, В - ның А -ғ а кө рсететін ә сері болады.

1.2- сурет 1.3- сурет

Бұ л заң нан денелер тепе-тең дікте тұ р деген қ орытынды шық пайды. Себебі бұ л кү штер ә ртү рлі денелерге қ ойылғ ан. Осы заң екі дененің тек бір-біріне деген ө зара ә серін сипаттайды.

4. Кү штердің еркіндік заң ы. Материялық нү ктенің бірнеше кү ш ә серінен алатын ү деуі, оның ә рбір кү штің жеке ә серінен алатын ү деулерінің геометриялық қ осындысына тең (1.3-сурет), яғ ни:

. (1.4)

(1.4) тең діктің екі жағ ын m санына кө бейтеміз, онда .Демек,

. (1.5)

(1.5) ө рнек бірнеше кү ш ә сер ететін материялық нү кте ү шін динамиканың негізгі тең деуі болып есептелінеді. (1.5) ө рнекті (1.1) ө рнекпен салыстырсақ, онда одан байқ айтынымыз нү ктеге бірнеше кү ш қ ойылғ ан болса, (1.1) дегі Ғ кү шін осы кү штердің тең ә сер етуші кү ші деп қ арауғ а болады.

1.2. Еркін жә не еріксіз нү кте динамикасының екі негізгі мә селесі. Динамика есептері екі негізгі тү рде болуы мү мкін. Бұ л мә селе еркін нү кте ү шін тө мендегідей:

Динамиканың бірінші негізгі мә селесінде нү кте массасы жә не оның қ озғ алыс заң ы берілген болып, қ озғ алтушы кү шті табу сұ ралады. Ал, динамиканың екінші негізгі мә селесі нү кте массасы жә не оғ ан ә сер ететін кү ш белгілі болғ анда, осы кү ш ә серінен алынатын кинематикалық элементтерді табудан тұ рады.

Техникада еріксіз (байланыстағ ы) нү кте қ озғ алысын зерттеуге қ атысты кө птеген есептерді шешуге тура келеді. Бұ л жағ дайларда нү ктеге қ ойылғ ан байланыс оны қ озғ алмайтын бет немесе сызық ү стінде қ озғ алуғ а мә жбү рлейді. Еріксіз нү кте қ озғ алысына қ атысты есептерді шешуге кіріскен кезде, берілген нү кте ойша байланыстан босатылып, оның нү ктеге кө рсететін ә сері реакция кү шімен алмастырылады. Нә тижеде материялық нү кте динамикасының негізгі тең деуі тө мендегідей жазылады:

. (1.6)

Мұ ндағ ы - байланыс реакция кү ші.

Демек, еріксіз нү кте динамикасының бірінші негізгі мә селесінде нү кте массасы жә не оның қ озғ алыс заң ы жә не де осы нү ктеге ә сер ететін кү ш белгілі болғ анда, реакция кү ші анық талады. Ал екінші мә селеде нү кте массасы жә не оғ ан ә сер ететін кү ш белгілі болғ анда, нү ктенің қ озғ алыс заң ы мен реакция кү шін анық тау керек.

1.3. Еркін жә не еріксіз нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деулері. Еркін нү кте кү шінің ә серінен қ озғ алыста болсын (1.4-сурет).Бұ л жағ дайда динамиканың негізгі тең деуі (1.1) тү рінде жазылады. (1.1) тең деудегі ү деу векторын радиус - векторы арқ ылы ө рнектейміз:

. (1.7)

1.4 сурет

(1.7) - ні (1.1)-ге қ ойсақ, онда

(1.8)

келіп шығ ады. (1.8) тең деуі еркін нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деуінің векторлық ө рнегі. (1.8) векторлық ө рнектің Декарт координата ө стеріндегі проекциялары тө мендегідей болады:

(1.9)

Бұ л ө рнектерде арқ ылы кү шінің координата ө стеріндегі проекциялары белгіленген, x, y, z арқ ылы радиус- вектордың проекциялары, яғ ни М нү ктенің координаттары. (1.9) тең деулер, қ исық сызық ты қ озғ алыстағ ы нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деулері координат ә дісімен берілген делінеді. Егер нү ктенің қ озғ алыс бағ ыты мен кү ш бағ ыты бір тү зу бойымен болса, нү кте қ озғ алысы тү зу сызық ты болады. Бұ л жағ дайда нү ктенің қ озғ алыс бағ ыты ү шін О_х ө сін алсақ, оның диффренциал тең деуі тө мендегідей жазылады:

(1.10)

Егер нү ктенің қ озғ алысы жазық тық та болса, онда (1.9) тең деулердің алғ ашқ ы екеуі (қ озғ алыс О_хү жазық тығ ында) жазылады. (1.1) тең деулердің табиғ и координата ө стеріндегі проекциялары тө мендегідей болады (1.5-сурет):

(1.11)

Кинематикадан бізге белгілі:

=d /dt, ² / , a_b =0 (1.12)

(1.12) ө рнекті (1.11) тең деулер жү йесіне апарып қ ойсақ, онда

m , F_n = m ² / , F_b = 0 (1.13)

келіп шығ ады.

1.5 - сурет 1.6 - сурет

Нә тижеде табылғ ан (1.13) тең деулер, нү кте қ озғ алысы табиғ и ә діспен берілген кездегі оның дифференциал тең деулері болып есептелінеді.

Енді нү кте жылжымайтын жылтыр сызық ү стінде қ озғ алып бара жатқ ан болсын (1.6-сурет). Санақ жү йесінің басын О деп, М нү ктенің қ исық сызық ты координатасын деп қ абылдаймыз. Қ озғ алмайтын жылтыр сызық тың нү ктеге кө рсететін ә серін реакция кү шімен ауыстырып, нү ктені байланыстан ойша босатамыз. Нә тижеде еріксіз нү кте динамикасының негізгі тең деуі тө мендегідей жазылады

, немесе

. (1.14)

Бұ л тең деуді Декарт координат ө стеріне проекцияласақ, еріксіз нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деулерінің координат тә сілдеріндегі ө рнегі келіп шығ ады:

, , (1.15)

(1.14) векторлық тең деуді табиғ и координат ө стеріне проекциялаймыз. Онда

.

Қ озғ алмайтын сызық жылтыр болғ андық тан реакция кү шінің жанамағ а болғ ан проекциясы нө лге тең, яғ ни

Демек,

(1.16)

(1.16) материялық нү ктенің қ озғ алмайтын жылтыр сызық ү стіндегі қ озғ алысының дифференциал тең деулерінің табиғ и тә сілде ө рнектелуі. Дербес жағ дайда кү ші жанама жазық тық та орналасса, онда Ғ _b=0 болып нормал реакция кү ші траекторияның бас нормалымен бағ ыттас болады.