Материялық нүкте және механикалық жүйе кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы қолданып есептер шешу

Кинетикалық энергияның ө згеруі туралы теореманы қ олданып есептер шешу келесі ретпен орындалады:

1. Материялық нү кте немесе механикалық жү йеге ә сер ететің кү штер сү ретте бейнеленеді:

2. Материялық нү кте немесе жү йе ө зінің орнын ауыстырғ ан кезде оғ ан ә сер ететің кү штердың жұ мыстарының қ осындысы табылады.

3. Материялық нү кте немесе жү йенің бастапқ ы жә не соң ғ ы кездегі кинетикалық энергиялары есептелінеді.

4. Есептің қ ойылуына қ арап (2.128)-(2.135) формулалардың бірі қ ұ рылады жә не керекті белгісіздер анық талады.

2.11 - есеп. Массасы m=0, 5 кг болатын материялдық нү кте жер бетінен

м/с бастапқ ы жылдамдық пен лақ тырылғ ан. Оның М жағ дайындағ ы жылдамдығ ы V=12 м/с. Осы нү ктенің орнынан М орнына кө шкен кездегі ауырлық кү шінің жұ мысы анық талсын (2.29-сурет).

Шешуі. Материялық нү ктеге ә сер ететін кү ш тек ауырлық кү ші. Оның атқ арғ ан жұ мысы (2.132) ге сә йкес

2.29-сурет

Сан мә ндерің қ ойсақ

келіп шығ ады.

2.12-есеп. Массалары m=1к/г болатын екі бірдей тісті дө ң гелектерден қ ұ ралғ ан жү йенің кинетикалық энергиясы табылсын (2.30-сурет). Дө нгелектер бұ рыштық жылдамдық пен айналады. Ә рбір дө нгелектың айналу ө сіне қ атысты инерция радиусы .

2.30-сурет

Шешуі. Қ арастырылып жатқ ан жү йенің кинетикалық энергиясы (2.116) ғ а сә йкес:

Дө ң гелектер бірдей болғ андық тан деп аламыз. Онда (2.121) ге сә йкес:

Бұ л жерде

Нә тижеде

Сан мә ндерің қ ойсақ .

3.13-есеп. Жү гі бар арбамен бірге ауырлығ ы G болатын ДТ-14 тракторы кө лбеу жазық тық та қ озғ алып келеді. Кө лбеу жазық тық горизонт пен 15 градус бұ рышты қ ұ райды (3.31-сурет). Трактордын бастапқ ы жылдамдығ ы .

2.31-сурет

Трактор кө лбеу жазық тық бойымен s = 5м қ ашық тық ты жү ргенде қ андай жылдамдық қ а ие болатыны табылсын. Арба жә не трактордың жазық тық арасындағ ы ү йкелісі есепке алынбасын.

Шешуі. Трактордың қ озғ алыс бағ ытын Ох ө сі бойынша аламыз

(2.31-сурет). Тракторғ а ауырлық кү ші нормал реакция ә сер етеді. Бұ л кү штердің қ озғ алыс бағ ытына болғ ан проекциялары: Тракторғ а ә сер ететін кү штердің атқ арғ ан жұ мыстарының қ осындысы тө мендегідей болады:

Трактордың жылдамдығ ын табу ү шін материялық нукте кинетикалық энергиясының ө згеруі туралы теоремадан пайдаланамыз:

,

немесе

.

Бұ дан.

келіп шығ ады.

2.14-есеп. Массасы m=4800 к/г болатын автомобиль жолдың горизонтал аралығ ында а=0.28 м/ удеумен қ озғ алып келеді.Автомобиль қ озғ алысына

2.32-сурет

кедергі ететін кү ш R=1.28kH. t=10 cекунтдағ ы автомобилді тарту кү шінің қ ү аты табылсын. Бастапқ ы кезде автомобилдің жылдамдығ ы =12м/с (2.32-сурет).

Шешуі. Автомобилге ә сер ететін кү штер ол ауырлық кү ші , горизонтал жазық тық тың нормал реакциясы , тарту куші жә не кедергі кү ші . Есепті шешу ү шін (2.133) формуладан пайдаланамыз. Ол тө мендегідей жазылады:

. (2.136)

Мұ ндағ ы

(2.137)

(2.136) тең діктің сол жағ ын былай жазуғ а болады:

(2.138)

(2.137) жә не (2.138) ді (2.136) ғ а қ ойсақ:

.

Бұ дан

келіп шығ ады.

Автомобиль бір қ алыпты ү демелі қ озғ алыста болғ андығ ы ү шін

Нә тижеде

Бұ л ө рнекке сан мә ң дерін қ ойсақ,

N(Ғ)=38.8 kbm

келіп шығ ады.

2.15 - есеп. Ауырлығ ы болатын А каток жә не ауырлығ ы болатын В жү к бірімен-бірі D блок арқ ылы ө тетін созылмайтын жә не ауырлығ ы есепке алынбайтың арқ ан кө мегің де біріктірілген. В жү к жылдамдығ ы V болғ анда жү йенің кинетикалық энергиясы анық талсын. Каток жә не блок біртекті диск деп есептелсін (2.33-сурет). Блоктың ауырлығ ы .

2.33 - сурет

Шешуі. Жү йе А каток, В жү к жә не D блоктан тұ рады. Олардың кинетикалық энергияларын сә йкес деп белгілейміз. Бұ л жағ дайда жү йенің кинетикалық энергиясы.

(2.139)

болады. S нукте, D блок жә не В жү к арқ ан кө мегінде біріктірілген. Сол ү шін

болады. Бұ дан

(2.140)

келіп шығ ады. (2.140) тағ ы - А катоктің - D блоктың бұ рыштық жылдамдығ ын ө рнектейді. А каток жазық -паралель қ озғ алыста болғ андық тан

оның кинетикалық энергиясы тө мендегідей:

. (2.141)

Мұ ндағ ы

(2.142)

(2.140) жә не (2.142) ні (3.141) ге қ ойсақ:

. (2.143)

В жү к ілгерілемелі қ озғ алыс жасайды. Демек, оның кинетикалық энергиясы:

. (2.144)

D блок айналатын болғ андық тан оның кинетикалық энергиясы:

. (2.145)

(2.144)-(2.145) дарды (2.140) қ а қ ойсақ жү йеның кинетикалық энергиясы келіп шіғ ады:

2.16 - есеп. Горизонтал жазық тық та орналасқ ан кривошип-шатунды механизм ОА кривошиптен, АВ стерженнен (шатун) жә не В ползуннантұ рады. Кривошиптің массасы , шатунның массасы . Бастапқ ы кезде < BOA= болып, А нү кте жылдамдығ ы u болсын. Кривошипке оны айналдыратын момент М қ ойыллғ ан. < BOA= болғ ан кездегі А нү ктенің жылдамдығ ы анық талсын. Кривошип жә не шатун бір текті стержень деп есептелсін. Ү йкеліс жә не ползунның массасы есепке алынбасын (2.34-сурет).

2.34-сурет

Шешуі. Жү йе ОА кривошип, АВ шатун жә не В ползуннантұ рады. Есепті шешу ү шін жү йенің кинетикалық энергиясының ө згеруі туралы теоремадан пайдаланамыз, яғ ни

(2.146)

Механизмнің А, В жә не С нү ктелерінің жылдамдық тарының бағ ыты 2.34-суреттегідей болады. болғ анда АВ шатунның лездік жылдамдық тар центрі шексізде болады. Демек, дененің жазық -паралелль қ озғ алысына сә йкес шатунның бұ рыштық жылдамдығ ы . Сол ү шін бастапқ ы кезде

болып, жү йе кинетикалық энергиясы тө мендегідей болады:

,

немесе

(l=OA) болғ андығ ы ү шін

(2.147)

болады.

Айналдырушы М момент ә серінде ОА кривошип бұ рылып, болады. Бұ л жағ дайда кривошипті айналдыратын моменттің жұ мысы (2.35-сурет)

. (2.148)

2.35-сурет

Ал кинетикалық энергия

болады. Бұ л жерде:

Нә тижеде

,

немесе

(2.149)

табылады.

(2.147), (2.148), жә не (2.149) тарды (3.146) ғ а қ ойсақ;

келіп шығ ады.

2.17 - есеп. Электрлі лебедка ауырлығ ы болатын С жү кті кө тереді. Электр моторы тұ рақ ты М момент ә серінде А барабанды қ озғ алтады. А барабан жә не В блоктың айналу ө стеріне қ атысты инерция моменттері сә йкес жә не , барабан радиусы жә не блок радиусы r берілген (2.36-сурет) (ұ зындық тар -м, уақ ыт-секунд есебінде). Барабанның бұ рыштық ү деуі анық талсын.

2.36 - сурет

Шешуі. Жү йеге барабан, жү к жә не блоктың ауырлық кү штері, тірек реакциясы, сондай-ақ тұ рақ ты момент ә сер етеді. Есепті шешу ү шін жү йе кинетикалық энергиясының ө згеруі туралы теореманың диференциялдық тү рі (2.130)-дан пайдаланамыз:

. (2.150)

Біз қ арастырып жатқ ан есеп ү шін трос реакциясы кү ші жә не басқ а ішкі кү штер қ уатының қ осындысы нө лге тең: . Барабан жә не блок ауырлық кү шінің, сондай-ақ тірек реакция кү шінің қ уаты нө лге тең, себебі олардың қ ойылу нү ктелері қ озғ алмайды. Жү к ауырлық кү шінің қ уаты: (мұ ндағ ы - барабанның бұ рыштық жылдамдығ ы), айналдыратын моменттің қ уаты:

Нә тижеде

(2.151)

Жү йенің кинетикалық энергиясы:

(2.152)

Мұ ндағ ы: , жә не - сә йкес барабан, блок жә не жү ктің кинетикалық энергиялары. Барабан жә не блок айналып тұ рғ андық тан, олардың кинетикалық энергиясы

(2.153)

2.153) ө рнекте мен блок бұ рыштық жылдамдығ ы белгіленген.

Трос нү ктелерінің жылдамдық тарының шамалары тең дігінен пайдаланып, жә не арасындағ ы

қ атынасты табамыз. Нә тижеде:

(2.154)

Жү к ілгерілемелі қ озғ алыста болғ андығ ы ү шін оның кинетикалық энергиясы

.

Бірақ, . Осығ ан сә йкес

(2.155)

(2.153)-(2.155)- терді (2.152) ге қ оямыз, онда

. (2.156)

(3.151) жә не (2.156) ні (2.150) ғ а қ оямыз:

Бұ дан

келіп шығ ады.