Пример к задаче 1. 3.

Круглый стальной вал сплошного сечения жестко закрепленный одним концом, находится под действием четырех внешних скручивающих моментов M ₁=3, 5 кН× м, М ₂=5 кН× м, М ₃=4 кН× м, М ₄=2, 5 кН× м (рис.1).

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов.

2. Определить диаметр вала из расчета на прочность [ t ]=6 кН/см².

3. Построить эпюру углов закручивания G = 8´ 10³ кН/см²

4. Найти наибольший относительный угол закручивания на 1 м длины.

*Примечание: На рис.1.3 использовано плоское изображение крутящих моментов:

- означает начало стрелки (“на нас”); - конец стрелки (“от нас”).

Рис. 1

РЕШЕНИЕ

1. Построение эпюры крутящих моментов.

Для определения крутящего момента в сечении пользуемся методом сечений. Разбиваем вал на участки, начиная со свободного конца. Границами участков служат точки приложения внешних крутящих моментов.

Для данного вала получаем 4 участка. Для каждого из участков рассматриваем равновесие отсеченной правой части. Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от сечения. Для правой отсеченной части М _z направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси z.

1 участок: 0 £ z₁ £ 1, 5 м

å MZ = 0 -MZ1 + M4=0 MZ1 = M4 = 2, 5 кН× м

2 участок: 1, 5 £ z₂ £ 3, 3 м

å MZ = 0 -MZ2 -М3 + M4=0 MZ2 = M4 - M 3 = 2, 5 -4 = -1, 5 кН× м

3 участок: 3, 3 £ z₃ £ 4, 9 м

å MZ = 0 -MZ3+М2 –М3 + M4=0 MZ3 = M4 - M 3 + М2 = = 2, 5 -4 + 5 = 3, 5 кН× м

4 участок: 4, 9 £ z₄ £ 6, 4 м

å M_Z = 0 -M_Z4 + M₁ + M₂ - M₃ + M₄ = 0

M_Z4 = M₄ - M₃ + М₂ + М₁ = 2, 5 - 4 + 5 + 3, 5 = 7 кН× м

Эпюры крутящих моментов показаны на рис.2

Опасное сечение - сечение в котором крутящий момент принимает максимальное значение М_Zmax =7 кН× м - все точки 4 -го участка.

2. Подбор диаметра вала

По наибольшему моменту M_Zmax из условия прочности при кручении подбираем диаметр вала:

t_{max =} [t]

Полярный момент сопротивления для круглого сечения ;

M_Zmax = 7 кН× м =700 кН× см.

Отсюда

= = 8.4 см = 84 мм.

После округления до стандартного значения получаем D = 90 мм=0.09 м.

3. Вычисляем углы закручивания j.

Обозначаем буквами А, В, С, D, Е границы участков, начиная с заделки (рис.2). Если на участке вала длины l крутящий момент M и жесткость GI_р постоянны, то угол поворота торцевых сечений определяется по формуле:

j =

G = 8 × 10³ кН/см² см⁴

Жесткость вала при кручении GI_r = 8 × 10³ × 643, 8 = 5, 15 10⁶ кН см²

Вычисляем углы закручивания начиная от неподвижного сечения. В заделке j_А = 0

j_В = j_А + j_АВ =0+ (рад)

Здесь j_AB угол поворота торцевых сечений на участке AB. M_AB = M_Z4 = 7 кН× м = 700 кН× см, l _AB= 1.5м = 150 см (длина участка AB)

Аналогично получаем:

j_C = j_B + j_BC =j_В+ 0.0204+0.0109=0.0313 (рад);

j_D = j_c + j_CD =j_c+ 0.0313-0.052=0.0261 (рад);

j_Е = j_D + j_DE =j_D+ 0.0261+0.0073=0.034 (рад).

Эпюры углов поворота приведены на рис.2.

4. Вычисляем относительные углы закручивания на каждом участке.

(м^-1);

(м^-1);

(м^-1);

(м^-1).

Наибольший угол закручивания на 1 метр длины q_max = q_AB =0.0136 (м^-1 ).

Рис. 2.