Решение. 1. Определяем реакции опор RA и RB

Рис.1

1. Определяем реакции опор R_A и R_B. Записываем сумму моментов относительно точек А и В, в которых находятся опоры:

Проверка

2. Выражения для внутренних поперечных сил Q_y и внутренних изгибающих моментов М_х для каждого из трех участков балки получаем методом сечений. Мысленно проводим сечение. Отбрасываем часть балки либо слева, либо справа от сечения. Действие отброшенной части заменяем внутренними силовыми факторами Q_y и М_х, которые находим из уравнений статики.

Для левой части (отброшена правая):

Q_y направлена вниз по оси У; М_х

М_х против часовой стрелки. Q_y

Для правой части (отброшена левая): Q_y

Q_y направлена вверх; M_x

М_х по часовой стрелки.

Для определения Q_y и М_х рисуем отдельно выбранную для расчета часть, указываем всю внешнюю нагрузку, направление внутренних силовых факторов Q_y и М_х и определяем их из уравнений статики: å Y =0, å М_х = 0 (сумма проекций всех сил на ось Y и сумма моментов всех сил относительно точки С, в которой провели сечение).

1-й участой 0 £ z £ a (левая часть)

z Qy	å Y = 0 Qy + P = 0 Qy = - P å Mx Mx + Pz = 0 Mx = - Pz

2-й участой a £ z £ a + b (левая часть)

z a Qy Mx q RA P

å Y = 0 Qy + P - RA + q (z - a) = 0 Qy = - P + RA - q (z - a) å Mx =0 Mx + q (z - a)2/2 - RA (z - a) + Pz = 0 Mx = - q(z - a)2 /2 + RA (z - a) + Pz = 0

3-й участой c ³ s ³ 0 (правая часть)

Строим графики эпюры Q_y и М_х под расчетной схемой конструкции (рис.1). На расчетной схеме должны быть указаны найденные значения опорных реакций R_А и R_В, вся внешняя нагрузка. Положительные значения Q_y и М_х откладываем по направлению оси Y (вниз).

На участках, где действует распределенная нагрузка q, эпюра Q_y - наклонная прямая, эпюра М_х парабола выпуклостью вниз (если q направлена вниз). Скачки (разрывы) на эпюре Q_y могут быть только в точках, где приложены сосредоточенные силы или опорные реакции. Величина скачка равна величине приложенной силы. Скачки на эпюре моментов могут быть только в тех сечениях, где приложены сосредоточенные моменты. Величина скачка равна величине приложенного момента.

Там где эпюра Q_y имеет нулевую точку, на эпюре М_х - экстремум (М_х = 2.67 кН× м, рис.1). Для определения экстремума надо приравнять нулю выражение Q_y на этом участке и получить из этого уравнения значение . Подставляя в выражение М_х на данном участке, получим значение экстремума М_х. В нашем примере , на 3-ем участке м. Подставляя в выражение на данном участке, получим кН× м.

3. Подбор деревянной балки круглого сечения.

Условие прочности балки по нормальным напряжениям s_z имеет вид:

(1)

c перегрузкой не более 5 % и недогрузкой не более 15 %.

Величина ½ М_х ½ _max определяются по эпюре М_х и в нашем случае есть ½ М_х ½ _max = 18 кН× м = 1800 кН× см.

Из (1) см³.

Момент сопротивления круглого сечения есть cм³ , откуда получаем

R = 14, 2 см.

Проверим условие прочности балки по максимальным касательным напряжениям в сечении у = 0:

(2)

с перегрузкой не более 5 % и любой недогрузкой.

½ Q_y ½ _max = 28 кН - по эпюре Q_y; - момент инерции для круга;

b = 2 R - ширина сечения на уровне у = 0, где действуют ½ t_zy ½ _max;

- статический момент площади полукруга, расположенной ниже уровня, где действуют ½ t_zy ½ _max.

В нашем случае .

А _отс – площадь полукруга; У _отс – центр тяжести полукруга.

Полагая R = 14, 2 см, по формуле (2) получаем ½ t_zy ½ _max = 0, 177 кН/см² при допускаемом напряжении [t] = 0, 4 кН/см².

Следовательно, условия прочности балки выполняются и для данной схемы подходит деревянная балка диаметром D = 28, 4 см. Площадь поперечного сечения 633, 150 см².

4. Подбор деревянной балки прямоугольного сечения с отношением сторон h / b = 2 (h - высота, b - основание).

Аналогично предыдущему , W_x = 2250 cм³.

Для прямоугольного сечения .

Тогда при h = 2 b имеем см³ ;

см; см

Максимальные касательные напряжения в сечении у = 0 определяются по формуле (2):

½ Q_y ½ _max = 28 кН; = 33302 cм⁴; b = 14, 95 см;

1671 см³

А _отс – площадь половины прямоугольника; У _отс – центр тяжести.

Тогда (2) ½ t_zy ½ _max = 0, 094 кН/см² при [t] = 0, 4 кН/см².

Условие прочности балки выполняются и для данной схемы подходит деревянная балка прямоугольного сечения A = b ´ h = 15 см ´ 30 см=450 см².

Площадь прямоугольного сечения оказалась значительно меньше площади круглого сечения, что приводит к экономии материала.