Есептер

1.1 Нү кте қ озғ алысының тең деуі

болғ ан кезде оның координата тү ріндегі траекториясы табылсын жә не ол суретте сызылсын.

Шешімі. Нү кте қ озғ алысының траекториясын анық тау ү шін жоғ арыдағ ы тең деулер жү йесінен t уақ ытты жоямыз. Мұ ның ү шін бірінші тең деуден , ал екінші тең деуден табамыз, яғ ни

, .

Енді бұ л ө рнектердің оң мен сол жақ тарын сә йкес квадраттап қ осамыз. Онда

.

Сурет

Анық талғ ан тең деу центрі (2; –1), ал жарты ө стері , ке тең болғ ан эллипстің тең деуі. Осы эллипстің суретін сызайық (1.7-сурет).

1.2. Нү кте қ озғ алысы , (t – секунд, х, у – сантиметр) тең деулермен берілген. Уақ ыт t = 1 с. болғ ан кездегі нү ктенің жылдамдығ ы мен ү деуінің шамалары мен бағ ыттары анық талсын.

Шешуі. Жылдамдық тың координат ө стеріне болғ ан проекцияларын анық тайық. Олар:

, .

Онда уақ ыт t = 1 с. болғ ан кездегі нү ктенің жылдамдығ ының проекциялары v_x = 2 см/с, v_y = 2 см/с. ке тең. Олай болса t = 1 с. болғ ан мезгілдегі нү ктенің жылдамдығ ының шамасы

см/с.

Жылдамдық тың кең істіктегі бағ ыты бағ ыттаушы косинустар (1.16) арқ ылы анық талады. Уақ ыт t = 1 с. болғ ан кездегі олардың мә ндері тө мендегідей:

, .

Бұ лардан табатынымыз: , .

Енді ү деудің координат ө стеріне болғ ан проекцияларын анық тайық. Олардың уақ ыт t = 1 с. болғ ан кездегі мә ндері мынандай:

, см/с².

Ү деудің осы мезеттегі шамасы мына формуламен анық талады:

см/с².

Ү деудің кең істіктегі бағ ытын бағ ыттаушы косинустар (1.17) формуласы арқ ылы анық таймыз, яғ ни:

, .

Демек, , .

1.3. Дизельді қ осқ ан кездегі оның кривошип саусағ ының қ озғ алыс тең деуі тө мендегідей:

,

(х, у – сантиметр, t –секунд). Саусақ тың жылдамдығ ы мен ү деуі табылсын.

Шешуі. Жылдамдық тың координат ө стеріне болғ ан проекцияларын анық тайық. Олар:

, .

Онда кривошип саусағ ының жылдамдығ ының модулі

см/с.

Енді ү деудің координат ө стеріне болғ ан проекцияларын табайық, яғ ни:

,

.

Онда кривошип саусағ ының удеуінің модулі тө мендегідей формуламен анық талады:

.

§1.7. Оқ у-ә дістемелік нұ сқ аулар

Классикалық механиканың кинематика бө лімін қ арастырғ анда проблемалық жағ дайды мынадай мә селелер ү шін қ ұ руғ а болады. Мысалы: кең істік пен уақ ыт ұ ғ ымдарын келтіргенде; механикалық қ озғ алыстың салыстырмалылығ ы жө нінде айтылғ анда; санақ жү йесі туралы сө з қ озғ алғ анда; кинематика мә селелерін қ арастырғ анда. Кинематика - абсолюттік қ атты дененің уақ ытқ а байланысты кең істіктегі салыстырмалы қ озғ алысын ү йренетін білім екені бә рімізге белгілі. Механикалық қ озғ алыс ә лемге кең тарағ ан қ озғ алыстың бірі. Классикалық механикада метериялды дененің қ озғ алатын кең істігі жер бетіндегі кең істіктің қ асиеттеріне ұ қ сас бола отырып геометрияның аксоималалары мен теоремаларына негізделген. Бұ л кең істіктің ерекшелігі ол ө зіндегі қ озғ алып жү рген материялық денелердің ә серінен ө з қ асиеттерін ө згерте алмайды. Сө зге тиек болып отырғ ан кең істік шексіз, біртекті жә не изотропты. Осы айтылғ ан мә селелерге ой жү гірте отырып мынандай проблемалық жағ дайларды қ ұ руғ а болады. Мысалы: Қ айсы денеге қ атысты дененің қ озғ алысын кө рсетпей тұ рып механикалық қ озғ алысты қ арастыруғ а бола ма? Айдың жерге жә не кү нге қ атысты қ озғ алыстарының бір-бірінен айырмашылығ ы бар ма, жоқ па? Санақ жү йесі ретінде қ абылдап алынатын негізгі дене неге байланысты? Уақ ыт санағ ы неден басталады? Уақ ыт ө лшем бірлігі қ алай таң дап алынғ ан? Осындай сұ рақ тарды талапкерлерге ойлануғ а уақ ыт бере отырып бірге шешкен жө н. Оларды кең істік пен уақ ыт жө нінде, механикалық қ озғ алыстың салыстырмалылығ ы турасында, санақ жү йесін қ арастырғ анда дұ рыс жол таң дай білулеріне ық пал жасау керек. Ол ү шін талапкерлерге қ осымша-жетекші сұ рақ тар берген орынды.

Нү кте қ озғ алысының вектор мен координаталық берілу тә сілдерін ө ткен кезде мынадай мә селелер бойынша проблемалық жағ дайларды қ ұ руғ а болады. Нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін таң дап алғ анда негізгі қ андай шарттарғ а қ арағ ан жө н? Радиус вектордың бір-бірлік уақ ыт ішінде ө згеру тездігі нені береді? Материялық нү ктенің бір-бірлік уақ ыт ішінде жылдамдығ ының ө згеру тездігінің физикалық маң ызы не? Нү кте қ озғ алысының вектор мен координаталық берілу тә сілдерінің арасындағ ы байланыс неден тұ рады? Осындай проблемалық сұ рақ тарғ а студент жастар ө здерінің кө з қ арастарын білдіріп дұ рыс жауап бергендері жө н.

Бұ л тарауғ а тиісті дә ріске қ атысты оқ у материалында дө скеге жазатын формулалар мен сызылатын суреттер ө те кө п. Сондық тан оларды алдын-ала мү мкіншілік болса дайындап, немесе болса интер активті дө скені пайдаланғ ан абзал. Ал мұ ндай кезде, оқ ытушы кү нделікті дә рістердегі айтылатын қ ұ былыстардың физикалық маң ызына кө бірек кө ң іл бө лгендері жө н. Дә ріске тиісті негізгі оқ у материалдары ө тілгеннен кейін студентер тарапынан оның қ аншалық ты қ абылданғ анын тексерген мақ ұ л. Ол ү шін студентер мен оқ ытушы арасында диалог іспетінде сұ рақ жауаптар орын алуы керекті нә рсе.

Айтылғ ан ерекшеліктерге кө ң іл бө ле отырып тарауғ а тиісті дә ріс кезінде оқ у жә не студенттер тарапынан алғ ан білімді бақ ылау ү шін қ олданылатын техникалық қ ұ ралдарды атап ө туге болады. Интер активті дө ске болатын болса оның мү мкіншілдігін жақ сы пайдалану керек. Сонымен қ атар дө скеге суреттерді сызғ ан шақ та оларғ а студенттердің назарын аударып отырғ ан жө н. Олардың ө здеріне кейбір суреттерді сыздырғ ан да дұ рыс. Мысалы кең істікте қ озғ алып бара жатқ ан материялық нү ктенің кинематикалық характеристикаларының бағ ытын анық тағ ан кезде студенттерге барлық мү мкіншілікті жарату керек. Ойлануғ а оларғ а уақ ыт берген дұ рыс. Дегенменде бұ л дә ріске арналғ ан суреттер қ ұ рамы аса кү рделі болмағ андық тан оны ү йде жеке плакаттарғ а сызбай-ақ дә ріс кезінде дө скеге сызса да болады. Оны оқ ытушының ө зінің еркіне қ оялық. Берілген дә рістің студенттер тарапынан қ аншалық ты қ абылданғ андығ ын тексеру ү шін алдын-ала даярланғ ан тест сұ рақ тарын оларғ а ү лестіріп, оғ ан берген жауаптарына қ арап анық тауғ а болады.

Ішкі жә не ө зара пә н аралық байланыстар нұ сқ аулары. Кинематика мә селелерін, классикалық механикадағ ы кең істік пен уақ ытқ а тиісті ұ ғ ымдарды, нү кте қ озғ алысының векторлық, координаталық берілу ә дістерін жә не оның кинематикалық характеристикаларын анық тағ ан кезде студент жастардың вектор мен жоғ ары математиканың алғ ан білімдерін қ олданғ ан жө н. Нү кте қ озғ алысының кинематикалық характеристикаларын анық тағ ан мезгілде студенттер берілген функциялардан қ алай бірінші жә не екінші туындыларды алу жолдарын игерген болулары шарт. Нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін ө ткен шақ та олардың вектор жө ніндегі тү сініктері есте болу керек. Бұ л жерде кинематика заң дары физиканың кө п бө лімдерінде кездесетіндігін атап кө рсеткен жө н.Кә зіргі кезде бұ л заң дар жаратылыстану ғ ылымының кө п салаларының негізгі болып саналады. Мысалы: химия, биология, ботаника, медицина, материалдар қ арсылығ ы, машина бө лшектері, механизм мен машина теориясын атап ө туге болады. Сонымен жалпы алғ анда классикалық механика механикалық қ ұ былыстардың қ андай теорияғ а бой ұ сынатынын табиғ аттың заң дарына негізделе отырып зерттейді.

Ө тілген дә рістің материалдары студенттердің алатын кә сіби мамандығ ымен (мысалы: машинажасау, машина жә не жабдық тау технологиясы, кө лік) тікелей байланысты болуы шарт. Олардың келешектегі дү ние кө зқ арасы бү гіннен қ алыптасатынын оқ ытушы жолдас бір сә тте ұ мытпауы тиіс. Ө з мамандық тарын олар сү йіп оның жолында бар ө мірін сарып ете отырып оны ұ лы тұ туы сағ ан тікелей байланысты, оқ ытушым. Оларды сенің ғ ажап тірліктерің нің арқ асында ө з жұ мыстарына ү лкен жауаппен қ арап, алғ ан білімдерін орынды жұ мсауғ а алып келеді деген сенімдемін.

Қ азақ стан ү кіметі кә зіргі таң да жоғ ары білікті инженер-механиктерді, инженер – педагогтерді дайындау жолына ү лкен кө ң іл бө ліп отыр. Себебі келешек инженер-механиктер, қ ұ рылысшылар, кө лік ісі мамандары оқ ытқ ан университеттерін бітіргеннен кейін Қ азақ станның тү пкір-тү кпірінде жауапты орындарда қ ызмет атқ аратындық тары сө зсіз. Олай болса, талапкер жас, оқ уың а қ алай болса солай қ арамай оғ ан ү лкен творчествалық зейінмен қ ара.

Екінші тарау

Нү кте қ озғ алысының табиғ и тә сілі. Жылдамдық ты анық тау. Қ исық тық жә не қ исық тық радиусы. Табиғ и ү шжақ тық. Қ озғ алыс табиғ и тә сілде берілген кездегі нү ктенің ү деуі. Жанама мен нормаль ү деулер. Поляр координаталарындағ ы нү ктенің жылдамдығ ы пен ү деуі.

Екінші тараудың мақ саты: Нү кте қ озғ алысының табиғ и тә сілін беру. Нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кездегі оның жылдамдығ ын табу. Табиғ и ө стерге, табиғ и ү ш жақ тық қ а, қ исық сызық тың қ исық тығ ына, қ исық сызық тың радиусына тиісті ұ ғ ымдарды келтіру. Нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кездегі оның ү деуін анық тау. Поляр координаталары арқ ылы қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің жылдамдығ ы мен ү деуін табу. Осы тарауғ а тиісті бақ ылау сұ рақ тарының тізімін, дә ріс тақ ырыбына қ атысты жеке есептерді шешу жолдарын кө рсету жә не ө тілген лекция бойынша оқ у - ә дістемелік нұ сқ ауларды беру кө зделген.

§2.1. Нү кте қ озғ алысының табиғ и тә сілі.

Нү кте қ озғ алысының алдынғ ы берілген екі тә сілінен бұ л тә сілдің айырмашылығ ы, бұ л тә сіл нү кте траекториясы алдын-ала белгілі болғ анда ғ ана қ олданылады.

Материялық М нү кте О₁XYZ санақ жү йесіне қ атысты берілген траекторияның бойымен қ озғ алып бара жатқ ан болсын (2.1-сурет). Траекторияғ а тиісті О нү ктесін қ озғ алатын нү ктенің бастапқ ы орны деп қ абылданып алынсын. Онда траекторияның ө зін қ исық сызық ты ось ретінде қ абылдап алуғ а болады. Сонымен қ атар қ озғ алып бара жатқ ан нү ктенің бағ ытын анық тайық. Егер нү кте таң дап алынғ ан О нү ктесіне қ атысты оң ғ а қ арай қ озғ алса оны оң бағ ыт, солғ а қ арай бағ ытталса теріс бағ ыт деп қ абылдайық (2.1-сурет).

Сурет

Олай болса, қ озғ алып бара жатқ ан М нү ктенің кез-келген уақ ыттағ ы алатын орнын доғ алық координата анық тап береді.

Нү кте қ озғ алғ ан мезгілде s аралық уақ ытқ а байланысты ө згеріп отырады, яғ ни доғ алық координат уақ ыттың функциясы. Демек,

. (2.1)

Бұ л ө рнекпен жазылғ ан (2.1) тең деуі ө з траекториясы бойлап қ озғ алатын нү ктенің қ озғ алыс тең деуі (заң ы) деп аталады. Сонымен нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кезде оның алдын-ала қ озғ алатын траекториясы, есеп жү ргізілетін бастапқ ы орны, қ озғ алыстың оң жә не теріс бағ ыттары, қ озғ алыс заң ы белгілі болулары керек.

Ескерту. Доғ алық координата s қ озғ алып бара жатқ ан материялық нү ктенің жү ріп ө ткен s^* жолын емес, ол оның тек қ ана кең істіктегі алатын орнын ғ ана анық тайды. Егер нү ктенің қ озғ алысы бастапқ ы О нү ктесінен басталып тек қ ана бір бағ ытта ғ ана қ озғ алатын болса (мысалы: тек оң бағ ытта), онда s = s^* болуы сө зсіз.

Уақ ыт t = 0 болғ ан шақ та қ озғ алып бара жатқ ан материялық нү ктенің алатын М₀ орны доғ алық s₀ координатамен, ал оның t уақ ытқ а сә йкес келетін орны доғ алық s координатасымен анық талатын болсын. Онда тек оң бағ ытта қ озғ алатын нү ктенің [ 0, t ] уақ ыт аралығ ындағ ы жү ріп ө ткен жолы

формула арқ ылы табылады.

Нү ктенің жылдамдығ ын анық тау. Уақ ыт t = 0 болғ ан шақ тағ ы қ озғ алып бара жатқ ан материялық нү ктенің М орны доғ алық координата s пен, ал t₁ кездегі алатын М₁ орны s₁ доғ алық координатамен анық талсын (2.2-сурет).

Сурет

Егер деген белгілеу енгізсек, онда нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кезде оның жылдамдығ ы бізге белгілі формуламен табылады, яғ ни:

,

бұ л жердегі қ озғ алып бара жатқ ан М материялық нү ктенің кең істіктің бірер-бір қ озғ алмайтын О₁ нү ктесінен ө ткізілген радиус-векторы. Олай болса , яғ ни радиус-вектор доғ алық координатаның функциясы. Онда

. (2.2)

Бұ л жердегі . Ал болғ ан вектордың бағ ыты векторының бағ ытымен бағ ыттас, яғ ни ол хорда бойлап траекторияның ө сетін доғ алық s координатасымен бағ ыттас. векторының шегі болып есептелінетін векторы доғ алық координатасы ө сетін траекторияның жанамасы бойлап бағ ытталғ ан. Бұ л вектордың модулі

.

Сонымен векторының шамасы бірге тең болып, доғ алық координатасы ө сетін траекторияның жанамасы бойлап бағ ытталғ ан. Бұ л векторды деп белгілеп, оны жанаманың бірлік векторы (базисы) ретінде қ абылдайық. Бұ л кезде (2.2) ө рнегі тө мендегідей кө рініске ие болады:

. (2.3)

Бұ л жердегі (2.3) ө рнегінің қ ұ рамына енген , ол нү ктенің жылдамдығ ының жанамағ а болғ ан проекциясы, яғ ни жылдамдық тың

Сурет

алгебралық мә ні. Егер болса, онда доғ алық s координатаның шамасы ө суші болып нү кте солай қ арап қ озғ алады. Ал жылдамдық ның бағ ыты t векторының бағ ытымен бағ ыттас (2.3а-сурет). Егер болса, онда доғ алық s координатаның шамасы кемеюші болып, жылдамдық ның бағ ыты t векторының бағ ытына қ арама-қ арсы бағ ытта (2.3б-сурет).

§2.2. Табиғ ы ө стер мен табиғ и ү ш жақ тың ұ ғ ымдары

Қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің траекториясы АВ болсын (2.4-сурет).

Сурет

Доғ алық координатаның ө сетін бағ ытына қ арап бұ л нү ктеден жанама ө ткізейік. Жанаманың бағ ытын анық тайтын бірлік векторды деп белгілеп алайық. Оғ ан перпендикуляр болғ ан жазық тық нормаль жазық тық деп аталады. Бұ л жазық тық та траекторияның қ исық сызығ ының ө те кө п нормальдары жайласқ ан. Енді жанаспа жазық тық ты қ ұ райық. Жанаспа жазық тық пен нормаль жазық тық тың қ иылысуынан пайда болғ ан сызық ты бас нормаль деп атайды.

Оның оң бағ ытын қ исық сызық тың ойық бағ ытына қ арап таң дап аламыз. Бас нормальдың бағ ытын анық тайтын бірлік векторды деп белгілейік. Жанаспа жазық тық қ а тік болғ ан нормальды бинормаль деп атаймыз. Оның оң бағ ытын анық тайтын бірлік векторды деп алайық. Бірлік векторының оң бағ ытын табу ү шін оның ұ шынан қ арағ ан кезде векторынан векторына ең жақ ын ө ту жолы сағ ат тіліне қ арама-қ арсы бағ ытта орындалуы тиіс. Бинормаль мен жанама арқ ылы ө тетін жазық тық тү зетуші жазық тық деп аталады.

Табиғ и координаталар ө стері деп ұ шы қ озғ алып бара жатқ ан М нү ктесіне орналасқ ан болып жә не онымен бірге кең істікте бағ ыттарын ө згертіп отыратын жылжыйтын ө зара перпендикуляр болғ ан ө стерге айтады. Бұ л ө стердің қ атарына жанама, бас нормаль жә не бинормаль жатады. Ал бұ л кезде нормаль, жанаспа, тү зулеуші жазық тық тар қ озғ алатын табиғ и ү ш жақ ты береді.

Қ исық сызық тың қ исық тығ ы мен қ исық тық радиусы

Бірер-бір берілген АВ қ исық сызығ ының екі М жә не М₁ нү ктелерін таң дап алайық (2.5-сурет).

Сурет

Олардың осы мезгілдегі орнын анық тайтын доғ алық координаталар s мен s₁ болсын. Осы нү ктелерден траекторияғ а жанама болатын жә не бірлік векторларын жү ргізіп векторын қ ұ райық жә не белгілеуді енгізейік. Онда ө сімінің доғ алық координатаның ө сіміне қ атынасы аралық тағ ы орташа қ исық тық тың векторы деп аталады, яғ ни

. (2.4)

Бұ л ө рнек ММ₁ аралығ ындағ ы қ исық сызық қ а болғ ан жанаманың бұ рылуын береді. Оның бағ ыты векторының бағ ытымен бағ ыттас, яғ ни қ исық сызық тың ойығ ына қ арап бағ ытталғ ан. Ал кезде, (2.4) векторының ұ мтылғ ан шегі қ исық сызық тың қ исық тық векторы деп аталады. Демек,

. (2.5)

Сонымен жанаманың бірлік векторынан доғ алық координатағ а қ атысты алынғ ан бірінші туынды зерттеліп отырғ ан нү ктедегі қ исық сызық тың қ исық тық векторын береді. Осы вектордың модулін анық тайық. Траекторияның М жә не М₁ нү ктелеріндегі жанамалар арасындағ ы Dj бұ рышы шектестік бұ рышы деп аталады. Егер 2.5-суретіне қ арасақ, онда

.

Бұ дан

. (2.6)

Олай болса, (2.6) ө рнегімен анық талатын k, қ аралып отырғ ан нү ктедегі қ исық сызық тың қ исық тығ ы деп аталады. Ал осы қ исық сызық тың қ исық тығ ына теріс болғ ан шама қ исық тық радиусы деп аталады, яғ ни:

. (2.7)

Бұ дан . (2.8)

Жоғ арыдағ ы (2.6), (2.7), (2.8) ө рнектерін еске ала отырып, тү зудің қ исық тығ ы нө льге тең екенін, ал қ исық тық радиусы болатынын кө рсету қ иынғ а тү спейді. Шең бердің ә р-бір нү ктесіндегі оның қ исық тығ ы тұ рақ ты шама болып, қ исық тық радиусы шең бердің радиусына тең (). Енді қ исық тық векторының бағ ытын табайық. Бұ л вектордың жабысқ ы жазық тық та жататыны белгілі, себебі

.

Жанама мен векторының арасындағ ы a бұ рыш (2.5-сурет):

.

Олай болса, М₁ ® М, Dj ® 0, онда a®90⁰.

Демек векторы бас нормальдың бағ ытымен бағ ыттас. Демек, берілген нү ктенің қ исық тық векторын тө мендегідей тү рде жазуғ а болады:

. (2.9)

§2.3. Нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кездегі оның ү деуі. Жанама жә не нормаль ү деулер.

Нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кезде оның ү деуін анық тау ү шін берілген мезеттегі жылдамдық ты бейнелейтін (2.3) тү рінде жазылғ ан формуладан пайдаланамыз. Бұ л ө рнекті уақ ыт бойынша бір рет дифференциялдасақ, онда:

,

Бірақ (2.5), (2.9) ө рнектеріне байланысты , , онда

. (2.10)

Бұ л ө рнектің оң жағ ында жазылғ ан бірінші қ осынды нү ктенің жанама ү деуі деп аталып тө мендегідей белгіленеді: (2.11)

Екінші қ осынды нү ктенің нормаль ү деуі делініп тө мендегідей кө рініске ие болады:

. (2.12)

Онда нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілмен берілген кезде оның толық (2.10) ү деуі жанама жә не нормаль ү деулердің геометриялық қ осындысына тең, яғ ни:

. (2.13)

Нү ктенің жанама ү деуінің бағ ыты ә рқ ашан ө зінің қ озғ алыс траекториясына жанама бойлап бағ ытталады. Сонымен қ атар, мен векторларының бағ ыттары бағ ыттас болса, онда нү ктенің қ озғ алысы ү демелі, ал мен векторларының бағ ыттары бір-біріне қ арама-қ арсы болса, онда нү ктенің мұ ндай қ озғ алысы кемімелі болады. Нү ктенің нормаль ү деуі ә рқ ашан қ исық сызық тың ойық жағ ына қ арап бас нормаль бойлап бағ ытталады. Жоғ арыда келтірілген , , векторлардың бағ ыттары 2.6-суретте кө рсетілген.

Сурет

Сонымен қ атар (2.11) жә не (2.12) лерде жазылғ ан жә не скаляр шамалар нү ктенің жанама мен бас нормальғ а болғ ан проекциялары. Қ озғ алып бара жатқ ан материялық нү ктенің ү деуі жанасқ ы жазық тық тың бетінде жатқ андығ ы ү шін ол ү деудің бинормальғ а болғ ан проекциясы нө лге тең. Олай болса нү кте ү деуінің қ озғ алмалы табиғ и ө стерге болғ ан проекциялары тө мендегідей формулалардан анық талады:

(2.14)

Жоғ арыдағ ы (2.13) ө рнегімен табылатын нү ктенің толық ү деуінің модулі мен бағ ыты мына формулалар арқ ылы анық талады:

(2.15)

Ескерту. 1) Нү ктенің тү зу сызық ты қ озғ алысы кезінде жә не . Демек, (2.14) - ө рнектен байқ айтынымыз: нү ктенің нормаль ү деуі оның тек қ исық сызық ты қ озғ алысы кезінде ғ ана пайда болады екен. Басқ а кезде ол нө льге тең.

3) Нү ктенің бір қ алыпты қ озғ алысы кезінде , олай болса . Демек, жанама ү деу (2.15) бойынша нү ктенің тек бірқ алыпты емес қ озғ алысы кезінде ғ ана пайда болады екен. Ол жылдамдық модулінің ө згеруін сыйпаттайтын шама.

§2.4. Поляр координаталарына қ атысты нү ктенің жылдамдығ ы мен ү деуі

Инженерлік есептердің кө бінде нү кте бірер-бір жазық тық бетінде қ озғ алғ ан шақ та поляр координаттар жү йесі де қ олданылады. Бұ л жағ дайда қ озғ алып бара жатқ ан материялық нү ктенің жылдамдығ ы мен ү деуі қ алай есептелінеді екен? Осы бір мә селеге тоқ тала кетейік.

Сонымен, қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің қ озғ алыс

Сурет

тең деуі поляр координаталарында берілген болсын, яғ ни уақ ыттың функциясы ретінде М нү ктенің орнын анық тайтын полярлық радиус пен полярлық бұ рыш берілсін (2.7-сурет).

Енді радиус-векторының ө сетін жағ ына қ арай бағ ытталғ ан , оғ ан перпендикуляр жә не j бұ рышының ө сетін жағ ына қ арай бағ ытталғ ан бірлік векторларын енгізейік (2.7-сурет). Таң дап алынғ ан мен бірлік векторларын басқ а декарт ө стерінің бірлік жә не векторларымен ө рнектеуге болады, яғ ни:

,

.

Бұ л тең діктерді уақ ыт бойынша бір рет дифференциалдасақ, онда

.

Қ озғ алып бара жатқ ан материялық М нү ктенің радиус-векторын тө мендегідей ө згертіп жазайық:

. (2.16)

Бұ л ө рнектен нү ктенің жылдамдығ ын анық тау ү шін (2.16) дан уақ ыт бойынша бір рет туынды алайық. Онда

.

Немесе

. (2.17)

Табылғ ан (2.17) - ө рнек жылдамдық векторын екі қ осындығ а жіктеп отыр. Оның бірі радиал бойынша , екіншісі трансферсаль (кө лденең) бағ ыттағ ы қ осындылар. Олай болса нү кте жылдамдығ ының радиал жә не кө лденең бағ ыттағ ы проекциялары былай жазылады:

(2.18)

Сонымен бұ л ө рнектер нү ктенің радиал жә не трансферсаль жылдамдық тары деп аталады. Нү кте жылдамдығ ының модулі мен бағ ыты (2.18) ө рнекке тиісті тө мендегідей формуладан анық талады:

(2.19)

Жылдамдық векторынан уақ ыт бойынша бір туынды алсақ, онда нү ктенің ү деуі табылады, яғ ни:

.

Немесе:

. (2.20)

Бұ л ө рнектен радиал жә не трансферсаль бағ ыттарына болғ ан ү деудің проекцияларын анық таймыз:

(2.21)

Ү деудің модулі мен бағ ытын есептеу ү шін мына формулалардан пайдаланамыз:

(2.22)

Табылғ ан векторлардың бағ ыттары 2.8.-суретте кө рсетілген.

.

О

Сурет

Сонымен, (2.19)-(2.22) ө рнектер қ озғ алып бара жатқ ан М материялық нү ктенің поляр координаталарындағ ы жылдамдығ ы мен ү деуін анық тауғ а мү мкіншілік береді.

Бақ ылау сұ рақ тары

1. Нү кте қ озғ алысының табиғ и тә сілде берілуі.

2. Доғ алық координата мен жү рілген жолдың айырмашылығ ы не?

3. Нү кте қ озғ алысы табиғ и тә сілде берілгенде оның жылдамдығ ы қ алай табылады?

4. Табиғ и ө стер деп қ андай ө стер аталады? Олардың бағ ыттары қ алай таң дап алынады?

5. Табиғ и ү ш жақ дегеніміз не?

6. Берілген нү ктедегі қ исық сызық тың қ исық тық векторы деп нені айтады? Ол неге тең жә не қ алай қ арап бағ ытталады?

7. Қ исық тық радиусы дегеніміз не? Тү зу мен шең бердің қ исық тық радиусы неге тең?

8. Табиғ и ө стердегі ү деудің проекциялары неге тең? Нуктенің ү деуі қ андай жазық тық та жатады?

9. Нуктенің жанама жә не нормаль ү деулерін не сыйпаттайды?

10. Поляр координаталарында нү ктенің жылдамдығ ы қ алай анық талады?

11. Поляр координаталарында нү ктенің ү деуі неге тең?