Есептер. I. Дене өзінің тыныштық күйінен бастап бірқалыпты үдемелі қозғала бастады

I. Дене ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі қ озғ ала бастады. Ол алғ ашқ ы 2 минутта 3600 рет айналды. Дененің бұ рыштық ү деуі табылсын.

Шешуі. 1) Айналу бұ рышын табу ү шін (3.7)-формуладан пайдаланамыз, яғ ни:

рад.

2) Дене ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі қ озғ ала бастағ аны ү шін и . Бұ дан

рад/с².

II. Дө ң гелек ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі айнала бастағ ан. Оның 10 минут ө ткеннен кейінгі бұ рыштық жылдамдығ ы 4p рад/с болғ ан. Осы 10 минут ішінде дө ң гелек қ анша рет ө з осінде айналғ ан?

Шешуі. 1) Дө ң гелек ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі айнала бастағ андық тан жә не . Бұ дан

рад/с².

2) Айналмалы қ озғ алыс бірқ алыпты ү демелі болғ андық тан дө ң гелектің айналу бұ рышы

рад.

3) Сонымен қ атар, . Демек

айн.

III. Ө з осінде айналып тұ рғ ан дө ң гелектің шеткі нү ктесінің толық ү деуі мен радиус арасындағ ы бұ рыш 60⁰. Осы кездегі жанама ү деудің мә ні м/с². Дө ң гелектің r = 0, 5 м. жерінде тұ рғ ан нү ктесінің нормаль ү деуі анық талсын. Дө ң гелек радиусы R = 1 м.

Сурет

Шешуі. 3.9-суреттен:

.

Бұ л тең діктен А нү ктесінің нормаль ү деуін анық таймыз, яғ ни:

м/с².

Дө ң гелектің жеке екі нү ктесінің нормаль ү деулері сол нү ктелердің айналу осіне дейінгі қ ашық тық тарғ а пропорциональ

.

Бұ дан В нү ктенің нормаль ү деуін табамыз:

м/с².

IV. Жіп арқ ылы байланысқ ан салмағ ы Р гир-тас арқ ылы радиусы R = 10 см болғ ан вал айналмалы қ озғ алыс жасайды. Гир-тастың қ озғ алыс тең деуі . Бұ л жердегі х сантиметрмен, t секундпен ө лшенеді. Уақ ыт t ғ а тең болғ ан кездегі валдың бұ рыштық жылдамдығ ы w мен бұ рыштық ү деуі e жә не валдың бетінде жататын нү ктенің толық ү деуі а табылсын (3.10-сурет).

Сурет

Шешуі. Гир-тастың қ озғ алыс тең деуінен оның жылдамдығ ын анық таймыз:

см/с.

Валғ а тиісті А нү ктенің жылдамдығ ы да осығ ан тең. Олай болса валдың бұ рыштық жылдамдығ ы

рад/с

тең.

Валдың бұ рыштық ү деуін тө мендегідей ө рнектен табамыз:

рад/с².

§3.8. Студенттің ө зіндік жұ мысы

Жү ктің бастапқ ы жылдамдығ ы ге тең. Оның тө менге қ арай ілгерімелі қ озғ алысының заң ы = болса, онда М нү ктенің жылдамдығ ы мен ү деуі анық талсын. Бұ л жердегі тө мендегі шарттардан табылады, яғ ни: де ; те . N – Cтуденттің жорналдағ ы нө мері.

§3.9. Оқ у-ә дістемелік нұ сқ аулар

Катты дене кинематикасының есептерін қ арастырғ ан шақ та, дененің екі нү ктесінің жылдамдық тарын сол нү ктелерді қ осатын тү зуге оларды проекциялағ ан мезгілде, абсолют қ атты дененің ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарын зерттеген кезде, қ озғ алып бара жатқ ан денелердің жеке ө здерінің жә не оларғ а тиісті нү ктелердің кинематикалық характеристикаларын анық тағ ан уақ ытта кө птеген проблемалық ситуацияларды студенттер алдына қ оюғ а болады. Осы айтқ андардан мысалы, мынандай сұ рақ тар туады: дененің екі нү ктесінің проекциясы жө ніндегі теорема практикалық есептер ү шін не береді? Бұ л теорема барлық қ озғ алыстар ү шін орынды ма? Дененің ілгерілемелі қ озғ алысын оның бір нү тесінің қ озғ алысы сыйпаттай ала ма? Дене қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналғ анда оның қ андай нү ктелері жылжымайды? Айналып тұ рғ ан дененің ө зінің кинематикалық характеристикалары қ алай қ арап бағ ытталғ ан? Дене мен оғ ан тиісті нү ктенің қ озғ алыстарын анық тайтын кинематикалық характеристикалар арасындағ ы байланыстар қ андай? Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналып тұ рғ ан дененің бір қ алыпты жә не бірқ алыпты айнымалы қ озғ алыстарына қ андай мысалдар келтіруге болады? Осы мә селелерді кө терген кезде ө зінен-ө зі проблемалық ситуациялар пайда болары хақ. Ә рине бұ л жерде студенттермен бірге материялық нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін еске тү сірген жө н. Қ озғ алып бара жатқ ан дене мен оғ ан қ атысты нү ктелердің кинематикалық характеристикаларын анық тағ ан шақ та студенттерге осы жерде қ андай тә сілді қ олданғ ан пайдалырақ болар еді?, - деген сұ рақ ты қ ойса ә бден орынды.

Бұ л тақ ырыпқ а тиісті дә рістің оқ у материалдарына ө те кө п суреттер, формулалар жә не есептер енген. Сондық тан да уақ ытты қ ысқ арту ү шін бұ л материалдарғ а бақ ылау мен техникалық оқ у қ ұ ралдарын қ олданғ ан дұ рыс. Мысалы: кодоскопты, интерактивті тақ тайды, компьютердің ө зін. Бұ л жағ дай талапкер студенттер мен оқ ытушы арасында тығ ыз байланысты орналастыра отырып, оқ ушы жастардың ой ө рісін ө ркендетуге алып келеді. Ал кодоскопты 3.1-3.10-суреттерді сызғ ан шақ та қ олдануғ а болады.

Студент жастардың бойларына сің ірген білімдерін анық тау ү шін бақ ылау жә не оқ ытатын режимде жұ мыс істейтін техникалық оқ у қ ұ ралдарын қ олдануды ұ сынамыз. Мысал ретінде бақ ылау сұ рақ тарын да осы мә селеге қ олдануғ а болады.

Айтылып отырғ ан дә ріс материалдарын ө ткен кезде пә наралық жә не ішкіпә ндер байланыстарын қ олданғ ан жө н. Дененің қ арапайым қ озғ алыстарын қ арастырғ ан кезде материалдар қ арсылығ ында, механизм мен машиналар теориясында ө тетіндей етіп олардан ойша қ осып кү рделі конструкция қ ұ рғ ан жө н. Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналып тұ рғ ан дененің бір қ алыпты жә не бірқ алыпты айнымалы қ озғ алыстарын қ арастырғ ан кезімізде жоғ ары математикада ө тілетін дифференциалдар мен интегралдарғ а жолығ амыз. Демек бұ л жерде осы мә селелерге қ айтадан кө ң іл бө лген дұ рыс. Студенттердің жоғ ары математикағ а тиісті болғ ан бұ л мә селелерді ө здері оқ ып шық қ андары кинематиканың ө зге де қ озғ алыстарын ү йренген кезде пайдасы тиері хақ.

Тө ртінші тарау

Айналып тұ рғ ан дене нү ктелерінің жылдамдық тары мен ү деулерінің векторлық формулалары. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысы. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысының тең деулері. Дененің жазық -параллель қ озғ алысын ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеу. Дененің жазық -параллель қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдығ ы мен удеуі. Жазық -параллель қ озғ алатын дене нү ктелерінің жылдамдығ ы

Сурет

Бұ дан мен ´ векторларының бір-біріне параллель екендігі кө рінеді жә не олардың бір жақ қ а қ арап бағ ытталғ андығ ы белгілі болады. Сонымен қ атар, бұ л векторлардың модульдері бірдей. Демек, мен ´ векторлары бір-біріне тең, яғ ни:

= ´ . (4.1)

Бұ л деген сө з қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан қ атты дене нү ктелерінің жылдамдық векторлары деп дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен оның айналу осінде жататын кез-келген О нү ктесінен ө ткізілген радиус-вектор дың векторлық кө бейтіндісіне тең болғ ан шаманы айтады. Егер дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен зерттеліп отырғ ан М нү ктенің радиус-векторы дың декарт ө стеріне болғ ан проекциялары жә не x, y, z сә йкес белгілі болса, онда М нү ктенің (4.1) жылдамдығ ын мына формуламен табуғ а болады:

= ´ = .

Бұ дан:

(4.2)

(4.2) формуласы 1765 жылы Эйлер тарапынан бірінші болып анық талғ ан. Сондық тан да оны Эйлер формуласы деп атайды.

Жылдамдық векторынан уақ ыт бойынша бір рет туынды алып М нү ктенің ү деуін табамыз, яғ ни:

. (4.3)

Енді (4.3) ө рнегінің бірінші қ осындысы М нү ктесінің бұ рыштық ү деуін, ал екіншісі, яғ ни қ осындысы центрге тартқ ыш ү деуді беретінін дә лелдейік. Шынында да, бұ рыштық ү деудің модулі (4.2-сурет):

.

векторының модулі:

.

Бұ дан:

.

Сурет

Бұ рыштық ү деудің бағ ыты ОМО₁ ү шбұ рышы жатқ ан жазық тық қ а перпендикуляр, яғ ни мен векторлары жатқ ан жазық тық қ а. Сонымен қ атар, векторының ұ шынан қ арағ анда векторынан векторына ең жақ ын ө ту сағ ат тіліне қ арама-қ арсы бағ ытта орындалуы тиіс, яғ ни векторы ´ векторымен бағ ыттас болғ аны.

Демек,

= ´ . (4.4)

Сонымен (4.4) бұ рыштық ү деу векторы дененің бұ рыштық ү деуі мен нү ктенің айналу ө сінің кез-келген центріне қ атысты радиус-векторының векторлық кө бейтіндісіне тең. Енді центрге тартқ ыш ү деудің модулін анық тайық. Ол ү шін мына формуланы қ олданамыз:

,

себебі . Бірақ

.

Олай болса:

.

Сурет

Енді векторын қ арастырайық. Егер векторын М нү ктесіне кө шіріп векторлық кө бейтіндіні қ ұ рсақ, онда 4.3-суреттен векторының бағ ыты М нү ктесінің центрге тартқ ыш ү деуімен бағ ыттас екені кө рінеді. Ал олардың модульдері тең екенін еске алсақ, онда

= . (4.5)

Демек, қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан қ атты дененің кез-келген М нү ктесінің центрге тартқ ыш (4.5) ү деуі дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен нү ктенің сызық тық жылдамдығ ының векторлық кө бейтіндісіне тең.

§4.2. Қ атты дененің жазық -паралель қ озғ алысы

Қ атты дененің жазық -параллель немесе жазық қ озғ алысы деп оның ә р-бір нү ктесінің қ озғ алмайтын бірер–бір жазық тық қ а паралелль жазық тық та болғ ан қ озғ алысын айтады. Тү зу сызық ты рельс бойлап сырғ анамай жылжыйтын дө ң гелектің қ озғ алысы, шатунды-кривошипті механизмдегі шатунның қ озғ алысы бұ ғ ан мысал бола алады. Дененің қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналмалы қ озғ алысы дененің жазық -параллель қ озғ алысының қ арапайым тү рі. Ал дененің ілгерілемелі қ озғ алысын оның жазық -параллель қ озғ алысының жеке тү рі деп қ арастыруғ а болмайды. Себебі кейбір дененің ілгерілемелі қ озғ алысы жазық болмауы мү мкін.

Енді осындай қ озғ алысты ү йренуді қ алай жең ілдетуге болатынын қ арастырайық. Дене қ озғ алмайтын П жазық тығ ына қ атысты жазық -параллель қ озғ алып бара жатқ ан болсын (4.4-сурет). Осы денені ойша П жазық тығ ына параллель болғ ан хОу жазық тығ ымен қ иып ө тейік. Онда дененің кө лденең қ имасын беретін S жазық фигураны табамыз. Ол дене қ озғ алғ анда ә р уақ ытта хОу жазық тығ ында болады. S жазық фигурағ а перпендикуляр болғ ан АВ тү зуін жү ргізейік, яғ ни АВ^S. Бұ л тү зу дене қ озғ алғ анда ә р уақ ытта ө зіне-ө зі параллель болып қ алады. Олай болса АВ тү зуі ілгерілемелі қ озғ алыста. Демек, бұ л кесіндінің бойында жатқ ан барлық нү ктелер кө лденең қ има мен АВ кесіндісінің қ иылысқ ан М нү ктесі сияқ ты қ озғ алады. Осы айтқ андардай, S жазық фигурағ а перпендикуляр болғ ан CD тү зуі де кө лденең қ има мен CD кесіндісінің қ иылысқ ан N нү ктесі сияқ ты орын ауыстырады. Демек, S жазық фигурағ а перпендикуляр болғ ан кез-келген тү зу кө лденең қ има мен солкесіндінің қ иылысқ ан нү ктесі сияқ ты қ озғ алады. Басқ аша айтқ анда, дене жазық -паралелль қ озғ алыста болғ анда оның тек осы кө лденең қ имасы S те жататын нү ктелер ғ ана ә р-тү рлі қ озғ алыста болады екен.

Сурет

Олай болса, дененің жазық -параллель қ озғ алысын қ арастырғ анда

ө з жазық тығ ында жатқ ан S жазық фигураның қ озғ алысын қ арастырғ ан жеткілікті.

§4.3. Қ атты дененің жазық -паралель қ озғ алысының тең деулері. Дененің жазық -параллель қ озғ алысын ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеу.

Жазық фигура S қ озғ алмайтын хОу остеріне қ атысты қ озғ алатын болсын (4.5-сурет). Фигураның О₁ нү ктесін полюс ретінде қ абылдап оғ ан денемен қ атаң бекітілген қ озғ алмалы х₁О₁у₁ координаттар жү йесін жайғ астырайық. Онда хОу қ озғ алмайтын санақ жү йесне қ атысты фигураның, ә рі қ озғ алмалы х₁О₁у₁ координаттар жү йесінің уақ ытқ а байланысты алатын орындары, фигураның О₁ нү ктесінің х₀₁, у₀₁ координаттары мен бірге О₁х₁ жә не Ох остерінің арасындағ ы j бұ рышы арқ ылы анық талады. Дене қ озғ алғ ан кезде оның орнын анық тайтын бұ л параметрлер уақ ытқ а тә уелді, яғ ни

(4.6)

Егер ә рбір t мезеті ү шін функциялар белгілі болса, онда (4.6) ө рнегінен дененің кез-келген уақ ыттағ ы орнын анық тайтын х₀₁, у₀₁, j параметрлерді анық тауғ а болады. Демек, жазық фигура S тің осы уақ ыттағ ы алатын орны белгілі.

(S)

j

О₁

Сурет

Ендеше, (4.6) ө рнегі қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысының тең деулері деп аталады.

Жеке жағ дайы ү шін х₀₁, у₀₁ коодинаталары уақ ытқ а тә уелді болса, онда дене тек ілгерілемелі қ озғ алыста болады, яғ ни дененің барлық нү ктелері О₁ полюсі сияқ ты қ озғ алады. Егер дененің О₁ нү ктесінің х₀₁, у₀₁ коодинаталары уақ ытқ а байланысты ө згермейтін болып, тек j бұ рышы ғ ана уақ ытқ а тә уелді болса, онда дене О₁ нү ктесінен ө тетін жә не чертежғ а перпендикуляр болғ ан ось тө ң ірегінде айланады. Ал дененің алатын орнын анық тайтын ү ш параметрде уақ ытқ а тә уелді ө згеретін болса, онда дене ілгерілемелі қ озғ ала отырып айналады. Бұ л екі қ озғ алыстың жиыны дененің жазық -параллель қ озғ алысын береді. Сонымен, дененің жазық -параллель қ озғ алысы кү рделі қ озғ алыс. Оның барлық нү ктелері таң дап алынғ ан О₁ полюсімен бірге ілгерілемелі қ озғ ала отырып, осы полюстен ө тетін ось тө ң ірегінде айланады. Бұ л жердегі О₁ полюсі дененің ыхтияри нү ктесінің қ атарына жатады. Егер басқ а жаң а полюсті таң дап алатындай болсақ, ә рине ілгерілемелі қ озғ алыстың характеристикаларына жататын О₁ нү ктенің х₀₁, у₀₁ коодинаталары ө згереді. Бірақ тұ рғ ан орны j бұ рышымен анық талатын дененің айналмалы қ озғ алысының жағ дайы сол қ алпында қ алады. Осының дә лелін келтірейік.

Жазық фигураның ө з жазық тығ ында кез-келген алатын екі I жә не II орнын алып қ арастырайық. Оның алатын ә рбір орны фигурамен қ атты бекітілген АВ кесіндісімен анық талады (4.6-сурет). Бастапқ ы да полюс ретінде А нү ктесі қ абылданғ ан болсын. Онда А нү ктесін А₁ нү ктесіне дә лме-дә л тү сіру ү шін фигураны ілгерілемелі қ озғ алта отырып оның орнын ауыстырамыз. А нү ктесі А₁ нү ктесімен дә лме-дә л тү скеннен кейін, В нү ктесі В₁ нү ктесімен дә лме-дә л келуі ү шін біз фигураны А₁ нү ктесінің тө ң ірегінде j₁ бұ рышқ а бұ рамыз.

₁

Сурет

Енді полюс деп біз В нү ктесін аламыз. Онда фигураны алатын I – орнынан II орнына ө ткізу ү шін оны ілгерілемелі қ озғ алта отырып В нү ктесі В₁ нү ктесінің орнын алғ анша жылжытамыз. Кейін фигураны В₁ нү ктесінің тө ң ірегінде j₂ бұ рышқ а бұ рамыз. Сол кезде А нү ктесі А₁ нү ктесімен дә лме-дә л тү седі. Бұ дан j₁ = j₂ екенін кө реміз. Демек, фигураның айналатын бө лігі таң дап алынатын полюске байланысты болмайды екен.

§4.4. Дененің жазық -параллель қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдығ ы мен ү деуі.

Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналатын қ атты дене сияқ ты бұ л жерде де дененің жазық қ озғ алысының айналатын бө лігі ү шін бұ рыштық жылдамдық жә не бұ рыштық ү деу ұ ғ ымдары енгізіледі. Егер дененің таң дап алынғ ан полюстен ө тетін ә рқ ашан орнын ауыстырып отыратын ось тө ң ірегінде айналатын бұ рышын j деп белгілесек, онда

, .

Дененің жазық -параллель қ озғ алысы кезіндегі бұ рыштық жылдамдық жә не бұ рыштық ү деу векторлық шамалар. Олар полюс арқ ылы ө тіп жазық фигураның жататын жазық тығ ына перпендикуляр болғ ан қ озғ алмалы ось бойлап бағ ытталады. Жазық фигураның айналатын бө лігі таң дап алынатын полюске тә уелді болмағ андық тан мен векторлық шамалар да полюске бағ ынышты емес. Демек, оларды жазық фигураның кез-келген нү ктесіне сан мә ндері мен бағ ыттарын ө згертпей қ оюғ а болады, яғ ни мен еркін векторлар болып саналады.

§4.5. Жазық -параллель қ озғ алатын дене нү ктелерінің жылдамдығ ы

Ө з жазық тығ ында жазық фигура S қ озғ алмайтын хОу остеріне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан болсын (4.7-сурет). Осы фигураның О₁ нү ктесін полюс деп қ абылдап оның кез-келген А нү ктесінің жылдамдығ ын анық тайық. Бұ л ү шін қ озғ алмайтын О нү ктесінен жә не радиус-векторларын ө ткізейік. Сонымен қ атар, О₁ мен А нү ктесін қ осатын векторын жү ргізейік. Абсолюттік қ атты дене қ озғ алғ анда бұ л вектордың тек қ ана бағ ыты ө згереді. Ал оның модулі тұ рақ ты болып қ алады. Олай болса бұ л вектор А нү ктенің О₁ полюс тө ң ірегінде айналғ ан кездегі орнын анық тайды. Демек, 4.7-суреттен кө ретініміз:

= + .

Бұ л ө рнектің екі жағ ын уақ ыт бойынша дифференциалдасақ, онда А нү ктесінің жылдамдығ ы келіп шығ ады, яғ ни

.

Бұ л жердегі – О₁ полюсінің жылдамдығ ы; – А нү ктенің О₁ полюстің тө ң ірегінде айланғ ан кездегі нү ктенің жылдамдығ ы. Сонымен:

. (4.7)

Сурет

Демек, жазық -параллель қ озғ алатын дененің кез-келген нү ктесінің (4.7) жылдамдығ ы екі жылдамдық тың геометриялық қ осындысынан тұ рады екен. Оның бірі полюс ү шін таң дап алынғ ан нү ктенің жылдамдығ ы болса, екіншісі нү ктенің осы полюс тө ң ірегінде айналғ ан кездегі жылдамдығ ы.

а) в)

Сурет

Айналмалы қ озғ алыстың формуласынан:

.

Бұ л жылдамдық О₁А кесіндісіне перпендикуляр болып, фигураның айналатын жағ ына қ арап бағ ытталғ ан. Оның модулі:

.

А нү ктенің жылдамдығ ы осы нү ктеде мен жақ тарынан қ ұ рылғ ан параллелограмның диагоналі болып есептелінеді (4.8 а, в-сурет).

Бақ ылау сұ рақ тары

1. Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан денеге тиісті нү ктелердің жылдамдығ ын, жанама жә не центрге тартқ ыш ү деулерін есептейтін векторлық формулаларды жазың ыз. Оларды талдап берің із.

2. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысы дегеніміз не? Мысалдар келтірің із.

3. Дененің айналмалы қ озғ алысын жазық -параллель қ озғ алыс деп атауғ а бола ма?

4. Дененің ілгерілемелі қ озғ алысы ә р уақ ытта жазық -параллель қ озғ алыстың жеке тү рі бола алады ма?

5. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысының тең деулерін жазып, оны тү сіндіріп берің із.

6. Жазық фигураның қ озғ алысын қ андай қ озғ алыстарғ а жіктеуге болады?

7. Жазық фигураның ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарының характеристикалары полюсті таң дап алуғ а байланысты ма?

8. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысы кезіндегі оның бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін анық тайтын формулаларды жазың ыз. Олар қ алай бағ ытталғ ан, тү сіндірің із?

9. Жазық фигура нү ктелерінің жылдамдығ ын табатын формуланы жазың ыз.

10. Нү ктенің жылдамдығ ы дегеніміз не? Ол қ алай қ арап бағ ытталғ ан? Оның модулі неге тең?

11. Жазық фигураның кез-келген нү ктесінің жылдамдығ ын қ ұ р. Оны қ ұ ру ү шін не керек?