![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Есептер. I. Дене өзінің тыныштық күйінен бастап бірқалыпты үдемелі қозғала бастады
I. Дене ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі қ озғ ала бастады. Ол алғ ашқ ы 2 минутта 3600 рет айналды. Дененің бұ рыштық ү деуі табылсын. Шешуі. 1) Айналу бұ рышын табу ү шін (3.7)-формуладан пайдаланамыз, яғ ни:
2) Дене ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі қ озғ ала бастағ аны ү шін
II. Дө ң гелек ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі айнала бастағ ан. Оның 10 минут ө ткеннен кейінгі бұ рыштық жылдамдығ ы 4p рад/с болғ ан. Осы 10 минут ішінде дө ң гелек қ анша рет ө з осінде айналғ ан? Шешуі. 1) Дө ң гелек ө зінің тыныштық кү йінен бастап бірқ алыпты ү демелі айнала бастағ андық тан
2) Айналмалы қ озғ алыс бірқ алыпты ү демелі болғ андық тан дө ң гелектің айналу бұ рышы
3) Сонымен қ атар,
III. Ө з осінде айналып тұ рғ ан дө ң гелектің шеткі нү ктесінің толық ү деуі мен радиус арасындағ ы бұ рыш 600. Осы кездегі жанама ү деудің мә ні
Сурет Шешуі. 3.9-суреттен:
Бұ л тең діктен А нү ктесінің нормаль ү деуін анық таймыз, яғ ни:
Дө ң гелектің жеке екі нү ктесінің нормаль ү деулері сол нү ктелердің айналу осіне дейінгі қ ашық тық тарғ а пропорциональ
Бұ дан В нү ктенің нормаль ү деуін табамыз:
IV. Жіп арқ ылы байланысқ ан салмағ ы Р гир-тас арқ ылы радиусы R = 10 см болғ ан вал айналмалы қ озғ алыс жасайды. Гир-тастың қ озғ алыс тең деуі
Сурет Шешуі. Гир-тастың қ озғ алыс тең деуінен оның жылдамдығ ын анық таймыз:
Валғ а тиісті А нү ктенің жылдамдығ ы да осығ ан тең. Олай болса валдың бұ рыштық жылдамдығ ы
тең. Валдың бұ рыштық ү деуін тө мендегідей ө рнектен табамыз:
§3.8. Студенттің ө зіндік жұ мысы Жү ктің бастапқ ы жылдамдығ ы §3.9. Оқ у-ә дістемелік нұ сқ аулар Катты дене кинематикасының есептерін қ арастырғ ан шақ та, дененің екі нү ктесінің жылдамдық тарын сол нү ктелерді қ осатын тү зуге оларды проекциялағ ан мезгілде, абсолют қ атты дененің ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарын зерттеген кезде, қ озғ алып бара жатқ ан денелердің жеке ө здерінің жә не оларғ а тиісті нү ктелердің кинематикалық характеристикаларын анық тағ ан уақ ытта кө птеген проблемалық ситуацияларды студенттер алдына қ оюғ а болады. Осы айтқ андардан мысалы, мынандай сұ рақ тар туады: дененің екі нү ктесінің проекциясы жө ніндегі теорема практикалық есептер ү шін не береді? Бұ л теорема барлық қ озғ алыстар ү шін орынды ма? Дененің ілгерілемелі қ озғ алысын оның бір нү тесінің қ озғ алысы сыйпаттай ала ма? Дене қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналғ анда оның қ андай нү ктелері жылжымайды? Айналып тұ рғ ан дененің ө зінің кинематикалық характеристикалары қ алай қ арап бағ ытталғ ан? Дене мен оғ ан тиісті нү ктенің қ озғ алыстарын анық тайтын кинематикалық характеристикалар арасындағ ы байланыстар қ андай? Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналып тұ рғ ан дененің бір қ алыпты жә не бірқ алыпты айнымалы қ озғ алыстарына қ андай мысалдар келтіруге болады? Осы мә селелерді кө терген кезде ө зінен-ө зі проблемалық ситуациялар пайда болары хақ. Ә рине бұ л жерде студенттермен бірге материялық нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін еске тү сірген жө н. Қ озғ алып бара жатқ ан дене мен оғ ан қ атысты нү ктелердің кинематикалық характеристикаларын анық тағ ан шақ та студенттерге осы жерде қ андай тә сілді қ олданғ ан пайдалырақ болар еді?, - деген сұ рақ ты қ ойса ә бден орынды. Бұ л тақ ырыпқ а тиісті дә рістің оқ у материалдарына ө те кө п суреттер, формулалар жә не есептер енген. Сондық тан да уақ ытты қ ысқ арту ү шін бұ л материалдарғ а бақ ылау мен техникалық оқ у қ ұ ралдарын қ олданғ ан дұ рыс. Мысалы: кодоскопты, интерактивті тақ тайды, компьютердің ө зін. Бұ л жағ дай талапкер студенттер мен оқ ытушы арасында тығ ыз байланысты орналастыра отырып, оқ ушы жастардың ой ө рісін ө ркендетуге алып келеді. Ал кодоскопты 3.1-3.10-суреттерді сызғ ан шақ та қ олдануғ а болады. Студент жастардың бойларына сің ірген білімдерін анық тау ү шін бақ ылау жә не оқ ытатын режимде жұ мыс істейтін техникалық оқ у қ ұ ралдарын қ олдануды ұ сынамыз. Мысал ретінде бақ ылау сұ рақ тарын да осы мә селеге қ олдануғ а болады. Айтылып отырғ ан дә ріс материалдарын ө ткен кезде пә наралық жә не ішкіпә ндер байланыстарын қ олданғ ан жө н. Дененің қ арапайым қ озғ алыстарын қ арастырғ ан кезде материалдар қ арсылығ ында, механизм мен машиналар теориясында ө тетіндей етіп олардан ойша қ осып кү рделі конструкция қ ұ рғ ан жө н. Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналып тұ рғ ан дененің бір қ алыпты жә не бірқ алыпты айнымалы қ озғ алыстарын қ арастырғ ан кезімізде жоғ ары математикада ө тілетін дифференциалдар мен интегралдарғ а жолығ амыз. Демек бұ л жерде осы мә селелерге қ айтадан кө ң іл бө лген дұ рыс. Студенттердің жоғ ары математикағ а тиісті болғ ан бұ л мә селелерді ө здері оқ ып шық қ андары кинематиканың ө зге де қ озғ алыстарын ү йренген кезде пайдасы тиері хақ.
Тө ртінші тарау Айналып тұ рғ ан дене нү ктелерінің жылдамдық тары мен ү деулерінің векторлық формулалары. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысы. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысының тең деулері. Дененің жазық -параллель қ озғ алысын ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеу. Дененің жазық -параллель қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдығ ы мен удеуі. Жазық -параллель қ озғ алатын дене нү ктелерінің жылдамдығ ы
Тө ртінщі тараудың мақ саты: Қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан қ атты дене нү ктелерінің жылдамдық тары мен ү деулерінің векторлық ө рнектерін анық тау. Оқ ушыларды қ атты дененің жазық -паралелль қ озғ алысымен (жазық) таныстыру. Осындай қ озғ алыстың тең деуін келтіріп шығ ару. Дененің жазық қ озғ алысын оның ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарына жіктеу. Жазық -паралелль қ озғ алатын дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін жә не оғ ан қ атысты нү ктелердің сызық тық жылдамдығ ын табу. Жазық фигураның екі нү ктесінің арасындағ ы қ атынасты анық тау. Бақ ылау сұ рақ тарының тізімін келтіру. Берілген теорияғ а лайық ты есептерді шығ арып кө рсету. Проблемалық ситуациялармен байланысты болғ ан оқ у-ә дістемелік нұ сқ аулар беру.
§4.1. Айналып тұ рғ ан дене нү ктелерінің жылдамдық тары мен ү деулерінің векторлық формулалары. Алдың ғ ы тарауда қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан қ атты дене нү ктелерінің жылдамдық тары мен ү деулерін анық тайтын формулалар олардың тек сан мә ндерін табуғ а мү мкіншілік беретін еді. Енді осы шамалардың векторлық формулаларын анық тайық. Себебі олар бұ л шамалардың тек сан мә ндерін ғ ана емес сонымен қ оса бағ ыттарын да анық тауғ а алып келеді. Дене қ озғ алмайтын z ө сінің тө ң ірігінде айналып жатқ ан болсын. Осы дененің кез-келген бір М нү ктесін алып қ арастырайық. Ол айналу ө сінен R қ ашық тық та орналасқ ан болсын (4.1-сурет). Осы айналу ө сінде жатқ ан кез-келген бір О нү ктесін алып, одан М нү ктесінің радиус-векторы
Бірақ бұ л ө рнектің оң жағ ы векторлық кө бейтінді
Сурет Бұ дан
Бұ л деген сө з қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан қ атты дене нү ктелерінің жылдамдық векторлары деп дененің бұ рыштық жылдамдығ ы
Бұ дан:
(4.2) формуласы 1765 жылы Эйлер тарапынан бірінші болып анық талғ ан. Сондық тан да оны Эйлер формуласы деп атайды. Жылдамдық векторынан уақ ыт бойынша бір рет туынды алып М нү ктенің ү деуін табамыз, яғ ни:
Енді (4.3) ө рнегінің бірінші
Бұ дан:
Сурет Бұ рыштық ү деудің бағ ыты ОМО1 ү шбұ рышы жатқ ан жазық тық қ а перпендикуляр, яғ ни
Демек,
Сонымен (4.4) бұ рыштық ү деу векторы дененің бұ рыштық ү деуі мен нү ктенің айналу ө сінің кез-келген центріне қ атысты радиус-векторының векторлық кө бейтіндісіне тең. Енді центрге тартқ ыш ү деудің модулін анық тайық. Ол ү шін мына формуланы қ олданамыз:
себебі
Олай болса:
Сурет
Енді
Демек, қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан қ атты дененің кез-келген М нү ктесінің центрге тартқ ыш (4.5) ү деуі дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен нү ктенің сызық тық жылдамдығ ының векторлық кө бейтіндісіне тең. §4.2. Қ атты дененің жазық -паралель қ озғ алысы Қ атты дененің жазық -параллель немесе жазық қ озғ алысы деп оның ә р-бір нү ктесінің қ озғ алмайтын бірер–бір жазық тық қ а паралелль жазық тық та болғ ан қ озғ алысын айтады. Тү зу сызық ты рельс бойлап сырғ анамай жылжыйтын дө ң гелектің қ озғ алысы, шатунды-кривошипті механизмдегі шатунның қ озғ алысы бұ ғ ан мысал бола алады. Дененің қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналмалы қ озғ алысы дененің жазық -параллель қ озғ алысының қ арапайым тү рі. Ал дененің ілгерілемелі қ озғ алысын оның жазық -параллель қ озғ алысының жеке тү рі деп қ арастыруғ а болмайды. Себебі кейбір дененің ілгерілемелі қ озғ алысы жазық болмауы мү мкін. Енді осындай қ озғ алысты ү йренуді қ алай жең ілдетуге болатынын қ арастырайық. Дене қ озғ алмайтын П жазық тығ ына қ атысты жазық -параллель қ озғ алып бара жатқ ан болсын (4.4-сурет). Осы денені ойша П жазық тығ ына параллель болғ ан хОу жазық тығ ымен қ иып ө тейік. Онда дененің кө лденең қ имасын беретін S жазық фигураны табамыз. Ол дене қ озғ алғ анда ә р уақ ытта хОу жазық тығ ында болады. S жазық фигурағ а перпендикуляр болғ ан АВ тү зуін жү ргізейік, яғ ни АВ^S. Бұ л тү зу дене қ озғ алғ анда ә р уақ ытта ө зіне-ө зі параллель болып қ алады. Олай болса АВ тү зуі ілгерілемелі қ озғ алыста. Демек, бұ л кесіндінің бойында жатқ ан барлық нү ктелер кө лденең қ има мен АВ кесіндісінің қ иылысқ ан М нү ктесі сияқ ты қ озғ алады. Осы айтқ андардай, S жазық фигурағ а перпендикуляр болғ ан CD тү зуі де кө лденең қ има мен CD кесіндісінің қ иылысқ ан N нү ктесі сияқ ты орын ауыстырады. Демек, S жазық фигурағ а перпендикуляр болғ ан кез-келген тү зу кө лденең қ има мен солкесіндінің қ иылысқ ан нү ктесі сияқ ты қ озғ алады. Басқ аша айтқ анда, дене жазық -паралелль қ озғ алыста болғ анда оның тек осы кө лденең қ имасы S те жататын нү ктелер ғ ана ә р-тү рлі қ озғ алыста болады екен.
Сурет Олай болса, дененің жазық -параллель қ озғ алысын қ арастырғ анда ө з жазық тығ ында жатқ ан S жазық фигураның қ озғ алысын қ арастырғ ан жеткілікті. §4.3. Қ атты дененің жазық -паралель қ озғ алысының тең деулері. Дененің жазық -параллель қ озғ алысын ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеу.
Жазық фигура S қ озғ алмайтын хОу остеріне қ атысты қ озғ алатын болсын (4.5-сурет). Фигураның О1 нү ктесін полюс ретінде қ абылдап оғ ан денемен қ атаң бекітілген қ озғ алмалы х1О1у1 координаттар жү йесін жайғ астырайық. Онда хОу қ озғ алмайтын санақ жү йесне қ атысты фигураның, ә рі қ озғ алмалы х1О1у1 координаттар жү йесінің уақ ытқ а байланысты алатын орындары, фигураның О1 нү ктесінің х01, у01 координаттары мен бірге О1х1 жә не Ох остерінің арасындағ ы j бұ рышы арқ ылы анық талады. Дене қ озғ алғ ан кезде оның орнын анық тайтын бұ л параметрлер уақ ытқ а тә уелді, яғ ни
Егер ә рбір t мезеті ү шін
(S)
j О1
Сурет Ендеше, (4.6) ө рнегі қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысының тең деулері деп аталады. Жеке Жазық фигураның ө з жазық тығ ында кез-келген алатын екі I жә не II орнын алып қ арастырайық. Оның алатын ә рбір орны фигурамен қ атты бекітілген АВ кесіндісімен анық талады (4.6-сурет). Бастапқ ы да полюс ретінде А нү ктесі қ абылданғ ан болсын. Онда А нү ктесін А1 нү ктесіне дә лме-дә л тү сіру ү шін фигураны ілгерілемелі қ озғ алта отырып оның орнын ауыстырамыз. А нү ктесі А1 нү ктесімен дә лме-дә л тү скеннен кейін, В нү ктесі В1 нү ктесімен дә лме-дә л келуі ү шін біз фигураны А1 нү ктесінің тө ң ірегінде j1 бұ рышқ а бұ рамыз.
1
Сурет
Енді полюс деп біз В нү ктесін аламыз. Онда фигураны алатын I – орнынан II орнына ө ткізу ү шін оны ілгерілемелі қ озғ алта отырып В нү ктесі В1 нү ктесінің орнын алғ анша жылжытамыз. Кейін фигураны В1 нү ктесінің тө ң ірегінде j2 бұ рышқ а бұ рамыз. Сол кезде А нү ктесі А1 нү ктесімен дә лме-дә л тү седі. Бұ дан j1 = j2 екенін кө реміз. Демек, фигураның айналатын бө лігі таң дап алынатын полюске байланысты болмайды екен.
§4.4. Дененің жазық -параллель қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдығ ы мен ү деуі.
Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналатын қ атты дене сияқ ты бұ л жерде де дененің жазық қ озғ алысының айналатын бө лігі ү шін бұ рыштық жылдамдық жә не бұ рыштық ү деу ұ ғ ымдары енгізіледі. Егер дененің таң дап алынғ ан полюстен ө тетін ә рқ ашан орнын ауыстырып отыратын ось тө ң ірегінде айналатын бұ рышын j деп белгілесек, онда
Дененің жазық -параллель қ озғ алысы кезіндегі бұ рыштық жылдамдық жә не бұ рыштық ү деу векторлық шамалар. Олар полюс арқ ылы ө тіп жазық фигураның жататын жазық тығ ына перпендикуляр болғ ан қ озғ алмалы ось бойлап бағ ытталады. Жазық фигураның айналатын бө лігі таң дап алынатын полюске тә уелді болмағ андық тан
§4.5. Жазық -параллель қ озғ алатын дене нү ктелерінің жылдамдығ ы
Ө з жазық тығ ында жазық фигура S қ озғ алмайтын хОу остеріне қ атысты қ озғ алып бара жатқ ан болсын (4.7-сурет). Осы фигураның О1 нү ктесін полюс деп қ абылдап оның кез-келген А нү ктесінің жылдамдығ ын анық тайық. Бұ л ү шін қ озғ алмайтын О нү ктесінен
Бұ л ө рнектің екі жағ ын уақ ыт бойынша дифференциалдасақ, онда А нү ктесінің жылдамдығ ы келіп шығ ады, яғ ни
Бұ л жердегі
Сурет Демек, жазық -параллель қ озғ алатын дененің кез-келген нү ктесінің (4.7) жылдамдығ ы екі жылдамдық тың геометриялық қ осындысынан тұ рады екен. Оның бірі полюс ү шін таң дап алынғ ан нү ктенің жылдамдығ ы болса, екіншісі нү ктенің осы полюс тө ң ірегінде айналғ ан кездегі жылдамдығ ы.
а) в)
Сурет
Айналмалы қ озғ алыстың формуласынан:
Бұ л жылдамдық О1А кесіндісіне перпендикуляр болып, фигураның айналатын жағ ына қ арап бағ ытталғ ан. Оның модулі:
А нү ктенің жылдамдығ ы осы нү ктеде
Бақ ылау сұ рақ тары 1. Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан денеге тиісті нү ктелердің жылдамдығ ын, жанама жә не центрге тартқ ыш ү деулерін есептейтін векторлық формулаларды жазың ыз. Оларды талдап берің із. 2. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысы дегеніміз не? Мысалдар келтірің із. 3. Дененің айналмалы қ озғ алысын жазық -параллель қ озғ алыс деп атауғ а бола ма? 4. Дененің ілгерілемелі қ озғ алысы ә р уақ ытта жазық -параллель қ озғ алыстың жеке тү рі бола алады ма? 5. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысының тең деулерін жазып, оны тү сіндіріп берің із. 6. Жазық фигураның қ озғ алысын қ андай қ озғ алыстарғ а жіктеуге болады? 7. Жазық фигураның ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарының характеристикалары полюсті таң дап алуғ а байланысты ма? 8. Қ атты дененің жазық -параллель қ озғ алысы кезіндегі оның бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін анық тайтын формулаларды жазың ыз. Олар қ алай бағ ытталғ ан, тү сіндірің із? 9. Жазық фигура нү ктелерінің жылдамдығ ын табатын формуланы жазың ыз. 10. Нү ктенің 11. Жазық фигураның кез-келген нү ктесінің жылдамдығ ын қ ұ р. Оны қ ұ ру ү шін не керек?
|