![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Есептер. I. АВ стержені суреттің жазықтығында қозғалады
I. АВ стержені суреттің жазық тығ ында қ озғ алады. Осы стержень ө зінің горизонталь орнын алғ ан кезде А нү ктесінің жылдамдығ ы 2 м/с. Оның бағ ыты АВ тү зуімен a = 600 градус бұ рыш қ ұ райды (4.9-сурет). Егер В нү ктесінің жылдамдығ ының бағ ыты АВ тү зуінің бойында жатса, онда осы нү ктенің жылдамдығ ы неге тең?
Сурет Шешуі. 1 (негізгі формула жә рдемімен). Бұ л есепте А нү ктесін полюс ретінде қ абылдап алсақ, онда
бұ л жерде Олай болса,
2 (дененің екі нү ктесінің жылдамдық тарын проекциялау жө ніндегі теорема). Осы теоремағ а сә йкес
немесе
III Радиусы R = 0, 5 м болатын дө ң гелек тү зу жолда сырғ анамай айналады. Оның центрінің жылдамдығ ы тұ рақ ты жә не v = 10 м/с ке тең. Егер ОВ = 0, 3 м болса, онда дө ң гелектің бұ рыштық жылдамдығ ы мен оның А мен В нү ктелерінің vA, vB жылдамдық тары анық талсын (4.10-сурет).
Шешуі.Дө ң гелектің О нү ктесін полюс деп қ абылдап жылдамдық ты анық тайтын негізгі формуланы қ олданамыз, яғ ни:
Сонымен қ атар,
Бірақ Р нү ктесі ү шін v0 = vPO = немесе
Сурет Олай болса
Бұ л жылдамдық тардың бағ ыттары 4.10-суретінде кө рсетілген. Дө ң гелектің А нү ктесінде vA = Ал оның В нү ктесінде vB = v0 + vBO = 10 + 6 = 16 м/с.
§4.7. Оқ у-ә дістемелік нұ сқ аулар
Қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналып жатқ ан қ атты денеге тиісті нү ктелердің жылдамдық тары мен ү деулерін вектор тү рінде анық тағ ан кезімізде бұ л ө рнектер осы шамалардың тек модулдерін ғ ана тауып қ оймай олардың бағ ыттарын да анық тауғ а мү мкіндік береді. Міне осы арада талапкер студенттердің алдына проблемалық жағ дайларды қ оюғ а болады. Шынында да артық ша формуланың қ ажеті қ анша, егер бір формула арқ ылы ізделініп отырғ ан шаманың ә рі модулі, ә рі бағ ыты анық талса. Мысалы, қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналып жатқ ан қ атты дене нү ктесінің жылдамдық векторы дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен нү ктенің радиус-векторының векторлық кө бейтіндісіне тең екенін студент жастарғ а дә лелдей отырып осы жылдамдық тың декарт координат остері Проблемалық жағ дайларды дененің жазық -параллель қ озғ алысын ө ткен кезде де оқ ушыларғ а қ оюғ а болады. Осы тақ ырыпқ а тиісті материалдарды ө ткен шақ та: студенттерге жалпы дененің жазық қ озғ алысын Сіздер қ алай тү сінесіздер? Мұ ндай қ озғ алыстарды қ андай жерде кездестіруге болады? Ө ткен тақ ырыптардан қ айсы қ озғ алыстар осы қ озғ алыстың жеке тү рі бола алады? - деген сұ рақ тарды қ оя отырып проблемалық жағ дайларғ а келуге болады. Бұ л сұ рақ тардың жауаптарын студенттермен бірге табу шарт. Ол ү шін қ осымша сұ рақ тар қ ою арқ ылы оларды дұ рыс жолғ а салып проблемалық жағ дайларды шешудің бірден-бір амалын табуды ө здеріне жү ктеу керек. Проблемалық жағ дайларды дененің жазық қ озғ алысын ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеген мезгілде, бұ рыштық жылдамдық пен бұ рыштық ү деуді тапқ ан шақ та, қ озғ алып бара жатқ ан денеге тиісті нү ктелердің сызық тық жылдамдық тарын анық тағ ан кезде қ ұ руғ а болады. Оларғ а жазық фигураның қ озғ алысын қ андай қ озғ алыстарғ а жіктеуге болады? Жазық фигураның ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстарының характеристикалары таң дап алынатын полюске байланысты ма? Жазық фигураның кез-келген нү ктесінің жылдамдығ ын қ ұ ру ү шін нені білу керек? Міне, осындай сұ рақ тарды қ оя отырып студеттердің теориялық механика бойынша алғ ан білімдерін терең дете тү суге болады. Ал сұ рақ тарғ а студенттердің ө здері дұ рыс жауап тапқ аны абзал. Ол ү шін оқ ытушы жағ ынан олардың терең ойлауларына барлық мү мкіншілік жаратылуы керек. Тақ ырыпқ а тиісті ө тілетін дә рістің материалдары ү шін қ олданылатын оқ у қ ұ ралы ретінде қ озғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналатын денеге тиісті нү ктелердің жылдамдық тары мен ү деулерін вектор кө рінісінде анық тағ ан кезде олар ү шін алдын-ала дайындалғ ан слайдтерді қ олданғ ан жө н. Бұ л векторлық шамалардың кең істіктегі алатын бағ ыттарына ерекше кө ң іл бө лген дұ рыс. Уақ ыттың тапшылығ ынан 4.1-4.10-суреттерін сызғ ан кезде кодоскопты, компьютер мен интерактивті тақ тайды қ олданғ ан дұ рыс. Козғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналатын денеге тиісті нү ктелердің жылдамдық тары мен ү деулерін вектор кө рінісінде анық тағ ан кезде студенттермен бірге ө тілетін екі вектордың векторлық кө бейтіндісін еске тү сірген жө н. Олардың модульдері мен бағ ыттары қ алай анық талатынына студенттердің кө ң ілін бө лген дұ рыс. Жылдамдық векторын декарттық координаттар остеріне проекциялағ ан шақ та анық тауышты бағ андары, немесе жолдары арқ ылы қ алай жіктелетінін студенттердің есіне тү сірген абзал. Бұ л ү шін жоғ ары математика курсының бө лімдері болғ ан аналитикалық геометрия мен сызық тық векторлық алгебрада осыларғ а тә н ө тілетін тақ ырыптарды студенттердің ө здері қ арап шық қ андары дұ рыс. Дененің жазық -параллель қ озғ алысын ө ткен кезде жә не жазық фигураның қ озғ алысын ілгерілемелі, айналмалы қ озғ алыстарғ а жіктеген шақ та студенттердің кинематиканың бірінші, екінші, ү шінші тақ ырыптарындағ ы материалдарын естеріне алғ андары ө здеріне артық болмайды, яғ ни нү кте қ озғ алысының берілу тә сілдерін, ілгерілемелі жә не айналмалы қ озғ алыстардың анық тамаларын. Бұ л жерде ә рине осы тақ ырыптарғ а тиісті материалдарды студенттердің ө здері ойланып, ә рекет жасап тапқ андары орынды. Козғ алмайтын ө сь тө ң ірегінде айналатын дене мен жазық -параллель қ озғ алатын денеге тиісті нү ктелердің жылдамдық тары мен ү деулерін, оның бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін тапқ ан шақ та жоғ ары математика курсында ө тілетін туындылармен кездесуге тура келеді. Олай болса, туынды жө ніндегі білімді студенттер алдын-ала білулері тиіс. Оны оқ ытушы студенттердің назарына салғ аны жө н. Міне осылардың бә рі пә наралық жә не ішкі пә ндер байланыстары болып табылады. Осымен қ атар, оқ ытушы жолдас, тақ ырыпқ а тиісті дә рістің ө тілетін материалдары алдынғ ы дә рісте мен бірге қ азақ стан ғ алымдарының теориялық механиканың ө ркендеуіне қ осқ ан ү лестеріне тоқ тала кеткені дұ рыс. Бұ л студенттердің білімге деген қ ұ штарлығ ын ө сіріп, ө з Отанына деген сү йіспеншілігін арттырары хақ.
Бесінші тарау Лездік жылдамдық орталығ ы. Оны анық тау тә сілдері. Лездік жылдамдық орталығ ы арқ ылы жазық фигура нү ктелерінің жылдамдық тарын анық тау. Жазық -параллель қ озғ алатын дене нү ктелерінің ү деулерін анық тау. Лездік ү деулер орталығ ы. Дененің жазық -параллель қ озғ алғ ан кездегі оның бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін табу жолдары. Бесінші тараудың мақ саты: Лездік жылдамдық орталығ ының анық тамасын бері. Оғ ан тиісті теореманы келтіріп, лездік жылдамдық орталығ ын табудың жолдарын анық тау. Жазық -параллель қ озғ алатын денеге тиісті нү ктелердің ү деулерін табу. Лездік ү деу орталығ ының анық тамасын келтіріп, оны табудың жолдарын кө рсету. Дененің жазық -параллель қ озғ алғ ан кездегі оның бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуін табу жолдарын келтіру. Бақ ылау сұ рақ тарының тізімін беру. Тарауғ а тиісті теориялық материалдарды қ олданып есептер шығ ару. Оқ у-ә дістемелік нұ сқ аулар беру.
§5.1. Лездік жылдамдық орталығ ы
Ө ткен тарауда жазық фигурағ а тиісті нү ктенің жылдамдығ ын вектор кө рінісінде тапқ ан едік. Бірақ ол формуланы практикада қ олдану едә уір қ олайсыздық тудырады. Осындайда нү ктенің жылдамдығ ын анық тау лездік жылдамдық орталығ ы деген ұ ғ ымғ а негізделсе, ол қ айда кө п жең ілдік тудырғ ан болар еді. Лездік жылдамдық орталығ ы деп берілген уақ ытта жылдамдығ ы нө лге тең болғ ан жазық фигураның нү ктесін айтады. Ø Болу теоремасы. Егер жазық фигураның бұ рыштық жылдамдығ ынө лге тең болмаса, ондалездік жылдамдық орталығ ы ә рқ ашанда бар болады. Дә лелі. Жазық фигураның кез-келген бір А нү ктесінің жылдамдығ ы нө лге тең болмасын (5.1-сурет). Керісінше жағ дайда, бұ л нү кте дененің лездік жылдамдық орталығ ы болып қ алады. Осы нү ктеден кесіндісін ө лшеп салайық. Онда Р нү ктесі фигураның лездік жылдамдық орталығ ы болады. Шынында да, жылдамдық ты анық тайтын негізгі формуладан табатынымыз:
Рис. 5.1 Ал
Екі бірдей ө зара қ арама-қ арсы бағ ытталғ ан векторлардың геометриялық қ осындысы нө лге тең екендігі бізге белгілі. Онда Ескерту. Ә р кездегі жылдамдығ ы нө лге тең болғ ан жазық фигураның лездік жылдамдық орталығ ы біреу. Басқ а уақ ытта жазық фигураның лездік жылдамдық орталығ ы басқ а нү кте болады.
§5.2. Лездік жылдамдық орталығ ы арқ ылы жазық фигура нү ктелерінің жылдамдық тарын анық тау. Жазық фигураның Р нү ктесі оның лездік жылдамдық орталығ ы болсын. Лездік жылдамдық орталығ ын полюс ретінде қ абылдап А жә не В нү ктелерінің жылдамдық тарын анық тайық. Олар:
Бірақ
яғ ни жазық фигураның кеэ-келген нү ктесінің жылдамдығ ы осы нү ктенің лездік жылдамдық орталығ ының тө ң ірегінде айнағ ан кездегі жылдамдығ ына тең. Ендеше дененің қ озғ алмайтын ось тө ң ірегіндегі айналмалы қ озғ алысының формулаларынан:
Бұ дан:
Басқ аша айтқ анда, 1) жазық фигураның кез-келген нү ктесінің (5.1) жылдамдығ ы сол нү ктенің лездік жылдамдық орталығ ына дейінгі болғ ан ара қ ашық тығ ына пропорционал; 2) дененің бұ рыштық жылдамдығ ы (5.2) оның кез-келген нү ктесінің жылдамдығ ымен сол нү ктенің лездік жылдамдық орталығ ына дейінгі болғ ан ара қ ашық тығ ының қ атынасына тең. §5.3. Лездік жылдамдық орталығ ын табудың тә сілдері
Лездік жылдамдық орталығ ын табудың бірнеше ә дісі бар. Соларғ а тоқ тала кетейік.
Сурет I. Жазық фигураның бір-біріне параллель болмағ ан екі нү ктесінің II. Енді АВ тү зуіне перпендикуляр болғ ан А мен В нү ктелерінің жылдамдық тары бір-біріне параллель болсын (5.3а, б-сурет).
Сурет Бұ л жағ дайда, жазық фигураның лездік жылдамдық орталығ ын анық тау ү шін III. Енді А мен В нү ктелерінің жылдамдық тары бір-біріне параллель болсын. Бірақ оларғ а АВ кесіндісі перпендикуляр болмасын (5.4-сурет).
Сурет Бұ л жағ дайда, А мен В нү ктелерінің жылдамдық тарына жү ргізілген перпендикуляр тү зулер бір-бірімен қ иылыспайды. Олай болса, лездік жылдамдық орталығ ы шексізде жатыр, яғ ни АР=ВР = ¥. Онда яғ ни дененің бұ л мезгілдегі нү ктелерінің жылдамдық тары бірдей. Бұ л дененің ілгерілемелі қ озғ алатынын білдіреді. Ескерту. Дененің лездік ілгерілемелі қ озғ алатын шағ ында оның жылдамдық тары ғ ана бірдей болғ анмени ү деуілерінің шамалары ә р-тү рлі. IV. Дене басқ а бір қ озғ алмайтын дене бетінде сырғ анамай домалансын(5.5-сурет).
Сурет Бұ л жағ дайда Р лездік жылдамдық орталығ ы денелердің жанасу нү ктесінде. Себебі, бір дене екінші дене бетінде сырғ анамағ андық тан, олардың бір-бірімен жанасқ ан нү ктелерінің жылдамдық тары бірдей болуы шарт. Бірақ екінші дене қ озғ алмайтын болғ андық тан
§5.4. Жазық -параллель қ озғ алатын дене нү ктелерінің ү деулерін анық тау
Ө з жазық тығ ында S жазық фигура қ озғ алмайтын хОу остеріне қ атысты қ озғ алсын (5.6-сурет). Полюс ретінде О1 нү ктені қ абылдап жазық фигураның кез-келген А нү ктесінің ү деуін анық тайық. Ол ү шін қ озғ алмайтын О нү ктесінен
Сурет
Онда
бұ л жердегі
Айналмалы қ озғ алыстың формуласынан:
a – Сонымен, жазық фигураның кез-келген А нү ктесінің ү деуі (5.3) полюс ретінде таң дап алынғ ан нү ктенің ү деуі мен осы полюстің тө ң ірегінде денемен бірге айналатын А нү ктенің ү деуінің геометриялық қ осындысына тең. Модулі мен бұ л
Сурет
Есептерді шығ арғ ан кезде
бұ л жердегі
Демек, табылғ ан (5.4) ө рнегі А нү ктесінің толық ү деуін анық тауғ а мү мкіндік береді.
§5.5. Лездік ү деулер орталығ ы Жазық фигурағ а тиісті нү ктелердің жылдамдық тарын анық тағ ан кезімізде оның ә рбір мезгілі ү шін жылдамдығ ы нө лге тең болатын бір Р нү ктесі бары анық талды. Бұ л нү кте жазық фигураның лездік жылдамдық тар орталығ ы деп аталғ ан еді. Осығ ан сә йкес ә рбір шақ ү шін жазық фигураның ү деуінің мә ні нө лге тең болатын бір Q нү ктесі бар екендігін дә лелдеуге болады. Бұ л нү кте лездік ү деулер орталығ ы деп аталады. Егер жазық фигураның бірер-бір А нү ктесінің 1) 2) Бұ рыштық ү деу e ның бағ ытына қ арап А нү ктесінен
Табылғ ан Q нү ктесі лездік ү деулер орталығ ы болады. Шынында да
бұ л жерде
Бұ дан ө зге
Бұ л вектордың модуль
Жазық фигураның басқ а бір В нү ктесі ү шін де бұ л ө рнек орынды, яғ ни:
Сонымен (5.5) ө рнегіне сә йкес, ә рбір мезеттегі жазық фигураның кез-келген нү ктесінің удеуі нү ктеден лездік ү деулер орталығ ын
Сурет Ескерту. Лездік жылдамдық тар орталығ ы мен лездік ү деулер орталығ ы жазық фигураның ә ртү рлі нү ктелері. Мысалы, горизональ жазық тық бойлап центрі тұ рақ ты жылдамдық пен бірер-бір диск сырғ анамай доң ғ аласын. Бұ л дененің лездік жылдамдық тар орталығ ы дисктің қ озғ алмайтын жазық тық пен қ иылысқ ан нү ктесінде болса, ал лездік ү деулер орталығ ы дисктің центрінде. Дегенменде, лездік жылдамдық тар орталығ ы техникағ а тиісті есептерді шешкен кезде ө те кө п қ олданылатын болса, керісінше лездік ү деулер орталығ ы аз қ олданылады. Себебі, кө бінше зерттеліп отырғ ан нү ктеден лездік ү деулер орталығ ына дейінгі арақ ашық тық ты табу оң айғ а тү се бермейді. Сондық тан, жазық фигурағ а тиісті нү ктелердің ү деулерін анық тағ анда негізінде (5.4) ө рнегі қ олданылады.
§5.6. Дененің жазық -параллель қ озғ алғ ан кездегі оның бұ рыштық жылдамдығ ын табу жолдары. 1) Дене жазық -параллель қ озғ алғ ан кезде оның таң дап алынғ ан полюс тө ң ірегінде айналатын
2) Егер дененің Р лездік жылдамдық орталығ ы белгілі болса, онда
3) Дене жазық -параллель қ озғ алғ ан кезде оның кез-келген нү ктесінің жылдамдығ ын анық тайтын
4) Геометриялық тә сіл. Қ арастырылып отырғ ан механизмнің геометриясынан оның алатын орнын анық тайтын бұ рыштық жә не сызық тық шамалардың арасындағ ы байланыстарды анық тап болғ аннан кейін, одан бір рет уақ ыт бойынша дифференциал аламыз. Мысалы, 5.9-суретінде кө рсетілген шатунды-крмвошипті механизм ү шін
Сурет
Бұ л ө рнектен уақ ыт бойынша дифференциал аламыз, яғ ни:
Бұ дан
§5.7. Дененің жазық -параллель қ озғ алғ ан кездегі оның бұ рыштық ү деуін табу жолдары.
1) Дене жазық -параллель қ озғ алғ ан кезде оның таң дап алынғ ан полюс тө ң ірегінде айналатын
2) Ү деуді анық тайтын
3) Егер дененің Р лездік жылдамдық орталығ ы белгілі болса, онда
Тү зу сызық ты қ озғ алыс ү шін
4) Геометриялық тә сіл. Қ арастырылып отырғ ан механизмнің геометриясынан оның алатын орнын анық тайтын бұ рыштық жә не сызық тық шамалардың арасындағ ы байланыстарды анық тап болғ аннан кейін, одан екі рет уақ ыт бойынша дифференциал аламыз. Мысалы, 5.9-суретінде кө рсетілген шатунды-крмвошипті механизм ү шін
Бұ дан Бақ ылау сұ рақ тары 1. Лездік жылдамдық тар орталығ ы дегеніміз не? Осындай нү ктенің бар екенін жә не оның біреу екенін дә лелдең із. 2. ЛЖО арқ ылы жазық фигура нү ктесінің жылдамдығ ының шамасы мен бағ ыты қ алай табылады? Бұ л ү шін нені білу қ ажет? 3. Лездік жылдамдық тар орталығ ын анық таудың Сіз қ андай тә сілдерін білесіз? 4. Жазық фигураның кез-келген нү ктесінің ү деуін анық тайтын формуланы жазып, оны тү сіндіріп берің із. 5. Жанама 6. 7. Жазық фигураның қ андай нү ктесі лездік ү деулер орталығ ы делінеді? 8. Жазық фигураның лездік ү деулер орталығ ын қ алай анық тауғ а болады, егер оның бір нү ктесінің ү деуі 9. Жазық фигураның бұ рыштық жылдамдығ ын анық тайтын Сіз қ андай тә сілдерді білесіз? 10.Жазық фигураның бұ рыштық ү деуін анық тайтын Сіз қ андай тә сілдерді білесіз?
|