Определение функции. Способы задания, область определения, геометрическая интерпретация, линии уровня.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ (х; у) или ƒ: D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Геом.интерпр-я:

Каждой точке М₀(х₀; у₀) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x₀; y₀; z₀), где z₀ = ƒ (х₀; у₀) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ (x; у).

Способы задания:

1)табличный(для функции двух переменных – в виде таблицы с двумя входами)

2)аналитический(может быть явным: z = x²+y² и неявным: x²+y² +z²-16=0

3)графический (Пусть задана функция f(x, y). Графиком называется множество точек в пространстве, где -абсцисса, - ордината, а - аппликата, т.е. графиком является поверхность.)

Линии уровня: Вид поверхности можно определить с помощью линий уровня, т.е. линий, соответствующих постоянному значению одной из переменных.

2.Предел функции нескольких переменных, понятие повторного предела. z=z(x, y)z=f(x, y) (1)z= (x, y)

Опр1: Ф-я (1) имеет пределом число а при стремлении (x, y) -> (x₀, y₀), если для

(2)Опр2: М(x, y) M₀(x₀, y₀), тогда опр1: Число А нзв пределом ф-и f(M) при , если для

(3) – расстояние (4)Замечание: Указанное опр предела показывает, что f(M) A независимо от того, как M Аналогично обр. можно дать опр. Предела, когда точка , либо Опр3: Число А нзв пределом ф-и f(x, y) при , т.е. Если для , , (5)Данное опр. Предела позволяют как и в случ. ф-и с одной переменной, позволяют сформулировать все теоремы(Алгебра пределов)

(; Для ф-й двух и большего числа перем. есть понятие повторного предела, (это был двукратный предел).

Понятие повторного предела, когда имеем ряд послед. Пред. Переходов в раздельности в том, или ином порядке.z=f(x, y)найти предел Теорема1(Только формулировка): Если 1) существует конечный (или бесконечный двойной придел) 2) Для сущ. Конечный простой предел x, , то сущ и повторный предел