Арифметических действий

Задачи изучения темы:

1) Научить читать и записывать простейшие выражения.

2) Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

3) Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В работе над числовыми выражениями можно выделить 2 основных этапа:

1) Изучение простейших выражений вида: сумма (2 + 3); разность (5 -1); произведение (3 • 4); частное (12: 4).

2) Изучение усложненных выражений, содержащих два и более дей­ствий, со скобками и без них.

1) При работе с простейшими выражениями в соответствии с требо­ваниями программы перед учителем стоит задача сформировать у детей умения читать и записывать такие выражения.

Первая встреча учащихся с выражениями происходит в первом клас­се в теме " Числа от 1 до 10", где дети впервые знакомятся со знаками действий " +" и " -". На этом этапе дети записывают выражения, и читают их, ориентируясь на смысл знаков действий, которые осознаются ими как краткое обозначение слов " добавить" и " отбросить". Это находит отражение в чтении выражений: 3 + 2 (3 да 2); 3 - 1 (3 без одного).

Постепенно представления детей об этих действиях расширяются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц к числу, мы увеличи­ваем его на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем. Это находит отражение при чтении выражений: 4 + 2 (4 увеличить на две единицы); 7 - 1 (7 уменьшить на одну единицу).

Затем дети узнают названия знаков действий " плюс" и " минус". (При изучении сложения и вычитания чисел первого десятка). Этиже выра­жения читаются иначе: 4 + 2 (4 " плюс" 2); 7 - 1 (7 " минус" 1).

И только при ознакомлении с названиями компонентов и результатов действия сложения вводится строгая математическая терминология, да­ется название данного математического выражения – «сумма», а несколько позже аналогично вводится термин «разность».

Названия следующих двух математических выражений «произведение» и «частное» вводятся аналогично при изучении действий умножения и де­ления во втором классе. Здесь же во втором классе вводятся термины " выражение", " значение выражения", которые как и другие математи­ческие термины должны усваиваться детьми естественно, как усваива­ются ими другие новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике.

2) Наряду с простейшими математическими выражениями изучаются и усложненные выражения, содержащие два и более действий, со скобками и без них. Такие выражения появляются в зависимости от рассмотрения соответствую­щих вопросов курса математики. Однако их рассмотрение в основном подчинено одной дидактической цели – сформировать умение находить значение выражения, а это непосредственно связано с правилами поряд­ка выполнения арифметических действий.

а) Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Первые такие выражения вида 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 встречаются в самом начале изучения сложения и вычитания чисел в пределах 10. Уже здесь основное внимание уделяется выяснению вопроса, как вести рассужде­ния при вычислении значения выражений. В I-II классе встречаются упражнения: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; во II классе встречаются упражнения: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. При дальнейшем рассмотрении аналогичных выражений делается вывод: в выражениях без скобок действия сложения и вычитания (умножения и деления) выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

б) Затем появляются выражения, содержащие скобки и опять главное внимание уделяется правилу о порядке выполнения действий в выраже­ниях со скобками. Так мы фактически знакомим детей со вторым прави­лом о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Упражнения: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2 ·5).

Во втором классе при изучении действий умножения и деления про­исходит встреча с выражениями, содержащими действия сложения, вы­читания, умножения и деления. Чтобы выяснить вопрос о порядке вы­полнения действий в таких выражениях, целесообразно для первого рассмотрения взять выражение 3 · 5 + 3. Используя смысл действия умножения, приходим к выводу, что значение этого выражения равно 18. Отсюда следует порядок выполнения действий. В результате мы фактически получаем третье правило о порядке выполнения действий в выра­жениях без скобок, содержащих действия сложения, вычитания, умно­жения и деления: в выражениях без скобок вначале выполняются дей­ствия умножения или деления, а затем действия сложения или вычита­ния в том порядке, как они записаны. При этом дается и образец рассуж­дении, где обращается внимание на проговаривание промежуточного результата, что позволяет предупреждать возможные ошибки детей. Упражнения: 21 + 9: 3, 34 – 12 · 2, 90: 30 – 2, 25 · 4 + 100.

Правила о порядке выполнения арифметических действий заслуживают особого внимания. Это один из сложных и отвлеченных вопросов начального курса математики. Работа над ним требует многочисленных распределенных во времени тренировочных упражнений. Умение применять эти правила в практике вычислений вынесено в основные требования программы в конце каждого года, начиная со второго класса и на конец обучения в начальных классах.

Упражнения:

1. Из заданных пар примеров выбрать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка выполнения действий: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 · 5 + 40: 2 = 50, 6 · 5 + 40: 2 = 35.

После объяснения ошибок дать задание: изменить порядок действия так, чтобы выражение имело заданное значение.

2. Расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

На последнем году обуче­ния в начальных классах рассмотренные правила дополняются новыми для детей правилами о порядке выполнения действий в выражениях содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок. Например: 90 · 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 · 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.) Например: Продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) · 5 = 10 · 5…

60: (2 · 10) = 60: 10…

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся выполняют преобразования выражений вида:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12): 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

Необходимо понять, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения.

Тождественные преобразования выражений выполняют также и на основе конкретного смысла действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 4, и наоборот, 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5, 7 · 6 – 7 = 7 · 5.

Если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 · 6): 4 = 10 · 6: 4 и т.п.

В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например: записать выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65 + 30) – 20, (20 + 4) · 3, 96 – (46 + 30)