Ознакомление учащихся с функциональной зависимостью

Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об одной из важнейших идей математики – идее соответствия. При выполнении заданий на на­хождение значений выражений, заполнении таблиц учащиеся уста­навливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного чис­ла, полученного в результате выполнения действия. Так, например, при вычитании числам 5 и 3 соответствует число 2, числам 1 и 1 - 0, а числам 2 и 4 не соответствует ни одно число, так как выражение 2 - 4 невыполнимо на множестве целых неотрицательных чисел. Для того чтобы ученики осознали это, содержание заполненных таблиц полезно проанализировать: сколько значений может прини­мать данное числовое выражение, зависит ли результат от изменения хотя бы одного из компонентов выражения. Особенно удобно про­водить такую работу над таблицами, содержащими выражения с одним неизменяющимся компонентом действия.

При выполнении заданий «В разности а - 15 (или а: 5) подставь вместо а три числовых значения и вычисли значение выражения при этих значениях а» учащиеся неявно используют условие выполни­мости вычитания и деления на множестве целых неотрицательных чисел. Здесь фактически идет речь об области определения функции.

В начальном курсе математики учащиеся имеют возможность ознакомиться с тремя способами задания функции: табличным, сло­весным, аналитическим, например, при выполнении задания: «Рас­смотри, как получены в таблице числа второй строки из чисел первой строки и заполни таблицу»:

Словесно формулируя зависимость между числами первой и вто­рой строк таблицы, заполняя таблицу, ученики по существу задают функцию у = 2х тремя способами.

При изучении табличных случаев ±2, ±3, ±4 учащиеся неявно пользуются композицией функций, прибавляя и вычитая чис­ло по частям. Например, чтобы к числу прибавить 3, надо к этому числу сначала прибавить 2, а затем еще 1. Фактически здесь речь идет о композиции: у(х) = f(φ (х)), где у(х) = х + 3, φ (х) = х + 2, f(φ (х)) = φ (х) + 1.

С функциональными зависимостями учащиеся знакомятся и при решении задач.

Приведем примеры упражнений, в которых дети встречаются с зависимостями величин.

1) В корзине 30 апельсинов. Сколько апельсинов останется, если возьмут 10; 8;

3; I?

На основании полученных ответов учащиеся могут прийти к выводу: чем меньше апельсинов возьмут, тем больше их останется. По существу здесь речь идет о функциональной зависимости у = 30 — х.

2) Кувшин вмещает 2 л молока. Сколько литров молока в 3 таких кувшинах; в б?

Учащиеся еще до решения задачи могут сказать, что в 6 кувшинах молока больше, чем в трех. Этот вывод подтверждают и ответы, получаемые при под­становке различных исходных данных. Фактически здесь рассматривается функция у = 2х.

3. Функциональной зависимостью связано, например, множество многоугольников с множеством чисел, характеризующим количество углов (вершин, сторон) в них. Это используется в учебнике математики для I класса, где изучение многоугольников происходит параллельно с изучением чисел первого десятка.

С введением буквенной символики, когда появляется возможность задавать функциональные зависимости формулой, можно выполнять упражнения, в которых требуется найти, например, сумму 4 + а, если а принимает значения 5, 7, 11, 16, т. е. найти значения функции при заданных значениях переменной.

Основными видами функциональной зависимости, изучаемыми в начальных классах, являются прямая и обратная пропорциональ­ности. Это зависимость между скоростью и расстоянием (при одина­ковом времени движения), временем движения и расстоянием, прой­денным за это время (при равномерном движении), ценой и стоимо­стью покупки, между длиной прямоугольника и его площадью (при неизменной ширине) и некоторыми другими величинами. Понятие пропорциональности вводится через задачи.

Вопросы и задания для самостоятельной работы

1. Какова роль алгебраического материала в курсе математики начальной школы?

2. Назовите в порядке возрастающей сложности типы числовых выражений, изучаемых в начальной школе.

3. Опишите методику обучения учащихся чтению числовых выражений.

4. Назовите и охарактеризуйте этапы знакомства учащихся с понятиями переменной и постоянной.

5. Приведите примеры упражнений, используемых на разных этапах формирования у учащихся понятия переменной.

6. Объясните, чем обусловлено использование в начальных классах неравенств с переменной.

7. Каким методами решения неравенств с переменной должны владеть младшие школьники?

8. Почему понятие уравнения вводится в начальных классах в несколько этапов? Охарактеризуйте содержание каждого из них.

9. Покажите на примерах особенности методики обучения учащихся решению уравнений на каждом из этапов.

10. Расскажите о возможностях формирования у учащихся понятий соответствия, функции.