Формирование логико-математических понятий у младших школьников

Изучая математику в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систем} понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в целом.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса математики начальной школы.

Стойлова Л.П. к элементам логики относит следующие разделы математического знания:

1. Множества и операции над ними. 2. Математические понятия. 3. Математические предложения. 4. Математическое доказательство. 5. Текстовая задача и процесс се решения 6. Комбинаторные задачи и их решения. 7. Алгоритмы и их свойства.

Рассмотрим линию логико-математических понятий и отношений.

Содержание этой линии представляют следующие вопросы: высказывание; примеры различных верных и неверных высказываний; числовые равенства и неравенства как высказывания; свойства числовых равенств; предложение с переменной; уравнение и неравенство.

Может возникнуть вопрос, почему уравнение и неравенство, которые обычно относят к алгебраическим понятиям, связывают с логико-математической линией. Дело в том. что на уравнение и неравенство в данной системе смотрят гораздо шире, чем это принято в начальной школе, где традиционно х в уравнении или неравенстве - это лишь неизвестное число, которое нужно найти с помощью вычислений. Поэтому сами эти понятия у младших школьников недостаточно отчетливо сформированы. Так. уравнением многие дети считают такие записи, как 5 + 7 ==12..г

В соответствии с высказанным подходом уравнение и неравенство предстают перед учащимися как математические примеры предложений с переменной. Подставляя вместо переменной различные ее значения (числа), дети получают высказывания, определяют, при каких значениях получившееся высказывание верное, а при каких - неверное. При этом вводятся понятия «корень уравнения» и «решение неравенства».

- Хотя уравнения и неравенства - это «точки» пересечения логико-математической и алгебраической линий, вопрос о способах решения уравнений и неравенств отнесем к чисто алгеб­раической линии и рассмотрим его позднее.

В математической логике высказыванием называют утверждение, о котором можно точно сказать, какое оно: истинное или ложное (термины «истинное», «ложное» будут вво­диться в четвертом классе; третьеклассники пользуются терминами «верное» и «неверное» высказывание и вместо термина «утверждение» употребляют слово «предложение»). Итак, высказывание - это предложение, о котором можно сказать, верное оно или неверное. Так, высказывание «Москва - столица России» - верное, а высказывание «В июне 31 день» - неверное.

В учебнике приводятся примеры предложений, не являющихся высказываниями. О них нельзя сказать, верные они или неверные. Высказываниями не являются любые вопросительные и восклицательные предложения (например: «Который час?». «С Новым годом!»), поговорки (обычно образные выражения, не составляющие законченного высказывания) или такие предложения, истинность которых в данный момент нельзя проверить (например. «Сегодня будет дождь»). Авторы предупреждают: не стремитесь научить каждого ученика отличать высказывание от предложения, не являющегося высказыванием. Важно лишь, чтобы дети поняли, что не каждое предложение является высказыванием.

Как сказано выше, примерами высказываний являются числовые равенства и неравенства. Так. 15 + 25 = 40 - верное числовое равенство, а 28: 4 = 8 - неверное числовое равенство; числовое неравенство 135 > 70 верное, а числовое неравенство 20 • 8 < 100 неверное.

Характерно, что в начальной школе традиционно рассматриваются только верные равенства и неравенства. С неверными равенствами и неравенствами дети практически не встречаются. Поэтому они, естественно, считают, что в неверном равенстве или неравенстве (например, 3+4=8, 5 > 9) неправильно поставлен знак равенства или неравенства. Это вызовет затруднения в дальнейшем - при обучении решению уравнений и неравенств.

В третьем классе учащиеся знакомятся с простейшими свойствами числовых равенств и неравенств. Равенство (неравенство) не нарушится, если к обеим его частям прибавить или из обеих его частей вычесть одно и то же число. Обе части равенства или неравенства можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число. На основе этих свойств можно легко решать некоторые виды уравнений. Например, уравнение 186 + х =35 + 186 легко решить, вычитая из обеих его частей число 186. Получится х =35. Корень виден сразу: 35.

Теперь обратимся к предложениям, содержащим переменную.

О предложении, содержащем переменную, нельзя сказать, верно оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной ее значение. Поэтому предложение с переменной высказыванием не является. Такое предложение в математической логике часто называют высказывательной формой (в третьем классе этот термин не используется).

Рассмотрим примеры. «Город X находится в России». Если значением X является Тула, то данное предложение становится верным высказыванием: «Город Тула находится в России». При другом значении X предложение «Город X находится в России» обращается в неверное высказывание. Так, если Л-Лондон, то высказывание «Город Лондон находится в России» неверное.

Формальное определение понятия «уравнение» учащимся не дается, но они должны хорошо понимать, что уравнение - это, во-первых, равенство (т.е. в записи уравнения обязательно должен быть знак равенства =), во-вторых, в нем должна быть переменная; следовательно, уравнение - это равенство с переменной.

Введя термин «уравнение» и ознакомив детей с его смыслом, полезно предложить им прочитать записи: 3 + 4. 7 - х, 9+х=15. 24: 3° 8. х+4, х=3. К) - 7 ° 3. найти среди них уравнение и доказать, что это уравнение.

Рассматривая записи, дети найдут среди них ту. которая является уравнением: 9+ х = 15. Далее надо проверить два условия: 1) является ли оно равенством. 2) есть ли в нем переменная.

Предположим, ученик говорит, что это уравнение, так как в записи сеть х. Тогда возразите ему: «Но в записи 7-х тоже есть х, а ведь это не уравнение». Ученик может сказать, что в записи есть знак =. Снова возразите: «Но ведь в записи 24: 3 = 8 тоже есть знак =. а это не уравнение». Надо добиться того, чтобы ученик сказал, что запись 9 + х = 15- уравнение, так как в нем есть знак = и переменная х.

Для тренировки полезно предложить учащимся доказать, что каждая из остальных записей уравнением не является. Можете поставить вопросы и иначе: «А мне кажется, что 10-7=3— уравнение. Права ли я? Почему нет'.' Ну. тогда х + 4 - уравнение. Верно ли это?

Можете считать, что у Ваших учеников хорошо сформировано понятие уравнения, если они понимают, что в уравнение вместо буквы нужно подставить число. В зависимости от числа, которое подставляется вместо буквы, получается верное или неверное равенство. Так. если в уравнение 3 + х = 9 вместо х подставить, например. 5. то получится неверное равенство 3+5=9. Можно подставить и другие числа. Но только при х. равном 6. получается верное равенство 3+6=9. Число 6 называют корнем этого уравнения. Термин «корень» вводится в третьем классе и входит в активный словарь учащихся.

Упражнения логического характера, содержащиеся в учебнике математики 1 класса Рудницкой В.Н.

Известно, что 16 меньше 17, 17 меньше 18, 16 меньше 18. Изобрази все три высказывания на одном графе. Сколько точек (вершин графа) нужно отметить? Сколько будет стрелок (ребер графа)9

Составь и прочитай все верные высказывания.

Из корзины с зелеными и желтыми яблоками, не глядя, достают одно за другим 7 яблок. Сколько желтых и сколько зеленых яблок может среди них оказаться9

Из книги выпало несколько листов. На первой выпавшей странице стоит номер 9, а на последней - номер 12. Сколько листов выпало из книги9

Из ящика с зелеными и желтыми грушами, не глядя, взяли 2 груши. Верно ли, что эти груши будут обязательно одного цвета

4. Методические основы организации контроля и оценки знаний при обучении младших школьников математике в Образовательной сис­теме «Школа XXI века»

В Образовательной системе «Школа XXI» при осуществлении контроля результатов обучения педагоги, в первую очередь, стремятся проконтролиро­вать, как учащиеся овладевают качествами функционально грамотной лично­сти, т.е. не отдельными знаниями, а умениями ими пользоваться в ходе ре­шения различных задач (проблем). Для реализации данной цели контроля ав­торы и методисты Образовательной системе «Школа XXI» разработали «Дневник школьника - XXI» для 3-4 классов. В нем уже в самом начале обо­значены цели изучения предметов, в том числе и математике, в виде необхо­димых общеучебных и предметных умений, сформулированных в доступном для 10-11 летних детей виде. Ознакомление ученика и родителей с этими це­лями сделает процесс обучения более мотивированным.

На уроке определение качественного уровня задания и правильности его выполнения должно осуществляться по соглашению учителя и учеников. Опираясь на перечень требований государственного минимума и требования программы, учитель и ученики в диалоге договариваются, какие вопросы и задания к какому уровню они относят. В дальнейшем при использовании уже оговоренных однотипных вопросов обсуждение проводить не нужно, если не возникает сомнения с какой-либо стороны. При появлении нового типа зада­ний нужно достичь нового соглашения.

Точно также для определения успешности выполнения задания надо дать возможность сначала самому ученику свериться с неким эталоном, кри­териями правильности и т.д. После этого ученик сам оценивает свою успеш­ность, а учитель высказывает свое мнение - происходит согласование.

Как и в традиционной системе обучения, в Образовательной программе «Школа 2100» пользуются основными видами контроля, но вносят в них свои коррективы.

Текущий контроль - решение задач в процессе открытия нового знания на каждом уроке. В тот момент, когда ученик только учится, оценка обяза­тельна. При этом оценка - гибкий инструмент, который готовит школьника. Оценивается не столько обученность, сколько учебная деятельность ученика - его старательность. В противном же случае, если прямо на уроке стремить­ся всем и определять оценки, и, особенно, выставляя отметки, хорошими учениками будут только «шустрики», а «мямлики» окажутся плохими.

Тематический контроль - решение задач в письменных самостоятель­ных работах по итогам изучения темы. Здесь имеет смысл проверять уже обученность, а не старательность. Самостоятельные и контрольные работы по математике представлены в виде специальных тетрадей на каждый учеб­ный год в двух вариантах. При проведении самостоятельных работ ставится прежде всего цель выявить уровень математической подготовки детей и своевременно устранить имеющиеся пробелы знаний. В конце каждой само­стоятельной работы отведено место для работы над ошибками. На первых порах учитель должен помочь детям в выборе заданий, позволяющих свое­временно исправить допущенные ошибки. В течение года самостоятельные работы с исправленными ошибками собираются в папку, что помогает уча­щимся проследить свой путь в освоении знаний.

Итоговый контроль. Его главный показатель - решение задач в итого­вых контрольных работах. В отличие от самостоятельных работ, основная функция контрольных работ - это именно контроль знаний. С самых первых шагов ребенка следует учить быть во время контроля знаний особенно вни­мательным и точным в своих действиях. Результаты контрольной работы, как правило, не исправляются - к контролю знаний нужно готовиться до него, а не после.

Основной принцип проведения контроля знаний в Образовательной сис­теме «Школа XXI» - минимизация стресса детей. Атмосфера в классе долж­на быть спокойной и доброжелательной. Возможные ошибки в самостоя­тельной работе должны восприниматься не более, чем сигнал для их дора­ботки и устранения. Спокойная атмосфера во время контрольных работ оп­ределяется той большой подготовительной работой, которая проведена пред­варительно и которая снимает все поводы для беспокойства.

Во всех видах контроля надо руководствоваться двумя правилами:

1.Не следует торопиться выставить ученику низкую отметку или зафикси­ровать, что этими возможностями он еще не овладел. В случае если ученик выполнил задание неуспешно, лучше дать ему возможность выполнить рабо­ту над ошибками и выставлять отметку уже после выполнения этой работы.

2.Ученик должен иметь возможность пересдать, исправить не устраиваю­щую его отметку.

Авторы и методисты Образовательной системы «Школа XXI» предлагают дифференцировать качественную отметку через уровни успешности, где ка­ждый уровень - это степень сложности решаемых задач.

Необходимый уровень (нижний «мини» минимакса) - возможности (со­четание умений и знаний), ориентированные на требования государственного стандарта. Соответствие только им - это «хорошо», но не «отлично».

Программный уровень (верхний «мини» минимакса) - возможности (со­четание умений и знаний), соответствующие требования предметных про­грамм Образовательной системы «Школа XXI». Соответствие им - это «от­личный» показатель для школьника.

Максимальный уровень («макси») - возможности (сочетание умений и

знаний), превышающие требования школьной программы.

Пользоваться уровнями успешности необходимо начинать в начальной школе. Это способствует развитию умений самоконтроля и самооценки.

Сначала ученик учится определять успех или неуспех своей учебной дея­тельности и как только эта ступень будет пройдена, можно предложить уче­никам задуматься над тем, что задачи, которые они решают, отличаются друг от друга по сложности. Для начала можно условно делить их на «простые», «сложные» и «очень сложные», постепенно в диалоге с детьми определяя признаки каждого уровня. Когда умение дифференцировать оценку своих ус­пехов уже будет намечено, можно знакомить учеников собственно с уровня­ми успешности - например, так, как это сделано в «Дневнике школьника - XXI».

Как известно, в традиционной системе обучения существует только одна жесткая пятибалльная система оценивания. В Образовательной системе «Школа XXI века», основанной на инициативности и творческом поиске каждого участника образовательного процесса, наблюдается сосуществование не­скольких вариантов выражения качественной оценки в виде отметки, каждый из которых может быть выбран учителем или педагогическим коллективом. Приведем несколько возможных вариантов выставления отметок.

Вариант наполнения «старой» пятибалльной системы новым содержани­ем, когда ученик сам по выбранным критериям выставляет себе «3», «4», «5». Очевидный плюс этого варианта в том, что он требует изменения системы отчетности. Очевидный минус - только три приемлемых балла не позволяет точно информировать ученика о степени его успешности.

Вариант фактически безотметочного обучения. В этом случае текущие ус­пехи ученика фиксируются в особом журнале, где в качестве граф указаны не уроки, а перечень возможных ЗУН-ов, которыми должен и может овладеть ученик. После получения соответствующих результатов в ходе диагностики (проверочных работ) в графах фиксируется овладение учеником данными возможностями (ставится «+»). Процент плюсов определит, на каком уровне ученик освоил возможности по данному предмету. Этот процент можно пе­реводить в официальные пятибалльные или любые другие отметки в конце учебного года или в конце учебной ступени.

Вариант замены традиционных пятибалльных отметок баллами успешно­сти. Он хорош для учителя-энтузиаста, готового самостоятельно (с разреше­ния администрации школы) отойти от пятибалльной системы. Соотношение между баллами успешности и пятибалльной системой такое:

Таблица 1

Соотношение между баллами успешности и пятибалльной системой.

Указанные выше баллы успешности можно заносить в таблицу требова­ний и, не переводя их каждый раз в пятибалльную отметку, сразу по баллам успешности определять итоговую оценку или итоговую отметку. С уровнем успешности могут быть соотнесены и другие системы отметок: 10-бальная система, 100%-ный рейтинг, накопительные баллы и т.д.

Таким образом, можно выделить следующие особенности системы кон­троля результатов обучения младших школьников математике:

цель контроля результатов обучения - как ученик продвигается по предметным линиям развития личности;

определение качественного уровня задания и правильности его выпол­нения осуществляется по соглашению учителя и учеников;

дифференциация качественной отметки через уровни успеваемости;

наблюдается сосуществование нескольких вариантов выражения каче­ственной оценки в виде отметки.

Главной центральной и единственно осознаваемой целью образования является обучение конкретному предмету, вооружение учащихся суммой знаний-умений. При этом предполагается, что реализация такой цели сама по себе обеспечит решение задачи развития ребенка.

Разработчики проекта «Начальная школа 21 века» считали необходимым ответить на следующие вопросы:

1) Каковы приоритетные цели обучения в начальной школе? (целостное гармоничное развитие личности школьника, становление элементарной культуры деятельности, овладение основными компонентами учебной деятельности: умением принимать учебную задачу, определять учебные операции и т.д., формирование готовности к самообразованию)

2) Что такое развитие младшего школьника? (развитие- сформированное умение использовать свои знания в нестандартных ситуациях; сформированное умение добывать знания, желание выполнять любую задачу творчески; сформированные умения осознавать свое незнание, находить причину сделанной ошибки; высокий уровень психических процессов)

3) Как нужно строить процесс обучения в первом школьном звене? (интеграция).

Список рекомендуемой литературы:

1. Беседы с учителем: Первый класс начальной школы. Под ред. Н. Ф. Виноградовой и Л. Е. Журовой. - М.: Издательский центр «Вентана-Граф». 1998. -240 с.

2. Беседы с учителем: Второй класс четырехлетней начальной школы / Под редю Л.Е.Журовой. –М.: Вента-граф, 1999, -320с.

3. Беседы с учителем: Третий класс четырехлетней начальной школы /Под ред. Л.Е.Журовой. –М.: Вента-граф, 2000, -384с.

4. Беседы с учителем: Методика обучения: Четвертый класс четырехлетней школы/ Под ред. Л.Е.Журовой. –М.: Вента-граф, 2001, -480с.

5. Беседы с учителем: Первый класс четырехлетней школы, Отвечаем на ваши письма: Вып. 1. - М.: Вентана-Граф, 2000. - 48 с,

6. Беседы с учителем: Первый, второй классы четырехлетней школы. Отвечаем на Ваши письма: Вып-2. –М.: Вента-раф, 2000, -48с.

7. Программы четырехлетней начальной школы

8. Проект " Начальная школа.XXI века" /Руководитель проекта Н.Ф. Виноградова. –М.: Вента-граф, 2001, -144с.

9. Концептуальные основы построения учебно-методического комплекса для первого звена школы / Сост. Н.Ф. Виноградова, Л.Е.Журова. Проект " Начальная школа XXI века" ~М.: Вентана-Граф, 2000. - 120с.

10. Рудницкая В. Н. Предмет «Математика» в начальной школе - М.: Ассоциация «Профессиональное образование», 1995 - 56 с.

11. Рудницкая В. Н, Математика. 1 кл. -М.: Вентана-Граф, 2000.

12. Рудницкая В. Н. Математика. Рабочая тетрадь К» 1. 2. 1 кл. -М.: Вентана-

13. Г^оА О А ПА

14. КочуроваЕ. 3, Я учусь считать. Рабочая тетрадь. 1 кл. -М.: Вентана-Граф, 2000.

15. Рудницкая В. Н.. Юдачева Т. В. Математика. 2 кл. -М.: Вентана-Граф, 2000.

16. Рудницкая В. Н.. Юдачева Т. В. Математика. Рабочая тетрадь № 1, 2. 2 кл. -М,: Вентана-Граф, 2000.

17. КочуроваЕ. Э. Дружим с математикой. Рабочая тетрадь. 2 кл. -М.: В ентана-Го аф. 2 0 00..

18. Рудницкая В. Н.. Юдачева Т. В. Математика. 3 кл. — М.: Вентана-Граф. 2000.

19. Рудницкая В. Н.. Юдачева Т. В. Математика. Рабочая тетрадь. Ч. Г 2. 3 кл.

20. — М.: Вентана-Гпаф. 2.000.

21. Рудницкая В, Н,, Юдачева Т. В. Математика. 4 кл. -М,: Вентана-Граф, 2000.

22. Рудницкая В. Н.. Рогачева Т. В. Математика. Рабочая тетрадь. Ч. I, 2. 4 кл.

23. — М.: Вентана-Граф, 2000.

24. КочуроваЕ.Э. Дружим: с математикой. 3 кл. Рабочая тетрадь. -М.:
Вентана-Граф, 2001.

25. Кочурова Е.Э. Дружим с математикой. 4кл. Рабочая тетрадь. –М.: Вента-граф, 2000.

26. 22. Рудницкая В.Н. Я иду на урок в начальную школу: 1-4 классы: Тесты по математике._М.: Издательство «Первое сентября», 2002.

Лекция 28. Образовательная система «Гармония»

План

1.Психолого-педагогические основы образовательной системы Н.Б.Истоминой «Гармония»

2. Развитие школьников в процессе изучения начального курса математики. Формирование приемов умственной деятельности – как методология дидактической системы Истоминой Н.Б.

3. Характеристика основных направлений формирования учебной деятельности младших школьников.

4. Формирование математических понятий. Приемы: анализ и синтез, аналогия и сравнение, классификации и обобщения.

5. Характеристика особенностей учебников математики Истоминой Н. Б.

6. Особенности изучения основных величин. Особенности комплекса текстовых задач в курсе математики Истоминой Н. Б. Методические приемы решения текстовых задач.

7. Список рекомендуемой литературы

1. Психолого-педагогические основы образовательной системы Н.Б.Истоминой «Гармония»

Эта система соотносится с основными идеями развивающего обучения и в частности с системой Занкова, в которой Наталья Борисовна Истомина сама очень долго работала.

Цель: многостороннее развитие ребенка, комфортное обучение, подготавливает мыслительный аппарат ребенка к дальнейшему обучению. Преодоление различий между традиционной и развивающей схемой обучения.

Задачи: обеспечить понимание ребенком изучаемых вопросов, создать условия для гармоничных отношений учителя с учеником и детей друг с другом, создать для каждого ученика ситуации успеха в познавательной деятельности.

Принципы: организация учебной деятельности учащихся, связанная с постановкой учебной задачи, с ее решением, самоконтролем и самооценкой; организации продуктивного общения, которое является необходимым условием формирования учебной деятельности; формирование понятий, обеспечивающих на доступном для младшего школьного возраста уровне осознание причинно-следственных связей, закономерностей и зависимостей.

Содержание: учебники по всем учебным предметам с 1 по 4 класс. Многие родители и педагоги отмечают очень хорошую подачу курса русского языка и литературы.

Особенности, которые позволят ребенку успешно учиться по данной программе: требования к особенностям мыслительного процесса ребенка вытекают из заявленной автором связи с системой Занкова. Но как всякая традиционная система, данная программа смягчает требования, предъявляемые к ученику программой Занкова.

Предпосылками для создания проекта стали: концепция формирования приемов умственной деятельности Н.Ф.Талызиной, концепция организации учебной деятельности Н.Б.Истоминой.

Авторский коллектив проекта поставил перед собой задачу: найти более целесообразный путь осуществления процесса обучения в первом школьном звене, устранения противоречий, характерных сегодня для начальной школы.

Нацеленность начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями обучения и способами их достижения, так как в процессе усвоения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:

1) как способы организации учебной деятельности школьников;

2) как способы познания, которые становятся достоянием ребенка, характеризуя его интеллектуальный потенциал и способности к усвоению знаний;

3) как способы включения в процесс познания различных психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания; в результате интеллектуальная деятельность ребенка входит в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с ее направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний, то есть характеризуется возрастающей активностью личности в различных сферах ее деятельности.

Существенные изменения в рамках предлагаемой концепции связаны с ответом на вопрос: «Как учить?» Именно эти изменения и обусловили необходимость создания новых учебников, в которых нашли отражение:

- новая логика построения содержания курсов, в основе которой лежит тематический принцип, позволяющий сориентировать курс на усвоение системы понятий и общих способов действий;

- новые методические подходы к усвоению школьниками понятий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями, а также формирование у них общих представлений об изменении, закономерности и зависимости;

- новая система учебных заданий, процесс выполнения которых носит продуктивный характер, составленная с учетом психологических особенностей младших школьников, определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.

Учебно-методический комплект «Гармо­ния» для четырехлетней начальной школы создан на кафедре методики начального обучения Московского государственного открытого педагогического университета им. М.А. Шолохова.

Входящие в комплект «Гармония» учеб­ники, учебники-тетради и тетради с печат­ной основой являются результатом много­летнего научно-методического поиска пу­тей совершенствования начального образо­вания, который осуществлялся авторами комплекта.

В связи с этим первой особенностью комплекта «Гармония» является его направ­ленность на преодоление объективно сло­жившегося разделения традиционной и раз­вивающих систем обучения на основе орга­ничного соединения подтвердивших свою жизненность положений традиционной ме­тодики и новых подходов к решению мето­дических проблем.

Вторая особенность комплекта нахо­дит выражение в методическом воплоще­нии в нем основных направлений модерни­зации школьного образования (гуманизации, гуманитаризации, дифференциации, деятельностного и личностно-ориентированного подхода к процессу обучения).

Методическая интерпретация современ­ных тенденций развития начального образо­вания и их реализация в учебниках позволя­ет рассматривать каждый предметный учеб­но-методический комплект, входящий в «Гармонию», как модель учебного процесса, как источник интеллектуального и эмоционального развития ребенка, его познаватель­ных интересов, умения общаться со взрослыми и сверстниками, как возможность полнее выразить свои мысли и чувства. Реализованные в учебниках методические подходы к организации учебной деятельности школьников создают условия для понимания ребенком изучаемых вопросов, для гармоничных отношений учителя с учеником и детей друг с другом, обеспечивают ситуации успе­ха за счет мер по целенаправленному пре­одолению трудностей обучения.

В числе этих мер следует назвать: 1) ло­гику построения содержания курсов, наце­ленных на усвоение понятий и общих спосо­бов действий, которая на доступном для младшего школьника уровне обеспечивает осознание им причинно-следственных свя­зей, закономерностей и зависимостей в рам­ках содержания каждого учебного предмета; 2) способы, средства и формы организации учебной деятельности младших школьни­ков; 3) систему учебных заданий, которая учитывает как особенности содержания учебных предметов, так и психологические особенности младших школьников и соблю­дает баланс между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.

В основу построения курса положена методическая концепция целенаправлен­ной работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятель­ности: анализа и синтеза, сравнения, клас­сификации, аналогии и обобщения в про­цессе усвоения математического содержа­ния, предусмотренного программой.

Реализация данной концепции обеспе­чивается:

1. Тематическим построением курса, со­здающим условия для осознания школьни­ками связей между новыми и ранее изучен­ными понятиями, для осуществления про­дуктивного повторения, для активного ис­пользования в процессе обучения приемов умственной деятельности.

2. Новым методическим подходом к изу­чению математических понятий, свойств и способов действий, в основе которого лежит установление соответствия между предмет­ными, словесными, графическими (схемати­ческими) и символическими моделями, их выбор, преобразование и конструирование в соответствии с заданными условиями.

3. Новым методическим подходом к формированию вычислительных навыков и умении, который создает условия не только для повышения качества вычислительной деятельности младших школьников, но и для развития их мышления.

4. Новым методическим подходом к обу­чению младших школьников решению тек­стовых задач, в соответствии с которым де­ти знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы те зна­ния, умения и навыки (навыки чтения, усво­ение конкретного смысла действий сложе­ния и вычитания, приобретение опыта в со­отнесении предметных, словесных, схема­тических моделей, знакомство со схемой как способом моделирования), которые не­обходимы им для овладения умением ре­шать текстовые задачи.

5. Включением в учебник диалогов меж­ду Мишей и Машей, с помощью которых детям предлагаются для обсуждения вари­анты ответов, высказываются различные точки зрения, комментируются способы ма­тематических действий, анализируются ошибки. Диалоги помогают учителю не только привлечь учащихся к обсуждению того или иного вопроса, но и самому включиться в эту работу, заняв тем самым пози­цию не контролирующего, а помогающего детям и сотрудничающего с ними.[12, с.34-35]

Особенности обучения в 1 классе.

В соответствии с концепцией курса целе­направленная и систематическая работа по формированию у младших школьников прие­мов умственной деятельности начинается с первых уроков математики при изучении темы «Признаки предметов». Учитывая опыт детей и имеющиеся у них представления, учитель предлагает задания на выделение различных свойств предметов, в том числе, и таких, как цвет, форма, размер. В процессе выполнения этих заданий младшие школьники осознают, что любой объект (предмет) можно рассматри­вать с различных точек зрения, ориентируясь на одни свойства и абстрагируясь от других. В этой же теме начинается работа по формирова­нию у учащихся представлений об изменении, соответствии, правиле и зависимости. Для этой цели используются задания на выявление признаков сходства и различия в предметах, на наблюдение изменений, происходящих с кон­кретными объектами, на выявление определен­ных закономерностей в изменении свойств предметов. Особенность всех заданий этой темы заключается в том, что каждое из них мож­но выполнить неоднозначно. Включение по­добных заданий в процесс обучения математи­ке способствует созданию, комфортных усло­вий на уроке для активной работы каждого ребенка в соответствии с его способностями, имеющимися.у него представлениями и уров­нем умственного развития.

В первые 14 уроков курса включена только устная нумерация. За­тем уточняются названия чисел, их последова­тельность при счете. При выполнении каждого задания ученики могут упражняться в счете предметов. Не забывайте, что, начав целенап­равленную работу по формированию приемов умственной деятельности, вы опираетесь только на опыт и интуицию первоклассника, так как пока вы его ничему не научили.

В данном курсе дети сначала усваивают (или уточняют) последовательность слов-чис­лительных, которой можно пользоваться для счета предметов, затем овладевают операцией счета, т.е. устанавливают взаимнооднозначное соответствие между предметом и слово: тельным. Затем вместо слов-числительных пользуются знаки (цифры), которые в математике обозначают количество (число) слов или групп предметов.

Просмотрев внимательно задания учебника, мы убедились в том, что при выполнении каждого задания новой темы ученики повторяют материал предыдущих тем. Поэтому в учебнике отсутствуют задания, специально предназначенные для повторения ранее изученных вопросов.

При знакомстве с отрезком следует обратить внимание на признаки, по которым легко узнавать данную фигуру. Таких признаков два: отрезок имеет два конца и всегда легко проводится с помощью линейки.

На уроках по теме «Измерение длины» учащиеся знакомятся с меркой и учатся пользоваться циркулем.

Введение понятий отрезок и, мерка позволит познакомить учеников с числовым лучом и научить их пользоваться им для сравнения чисел. В теме «Числовой луч» вводятся понятие неравенство и символы для сравнения чисел.

Для разъяснения смысла сложения используется идея соответствия предметного действия его словесному описанию, математической за­писи и изображению на числовом луче. Для чтения математических записей вводится терминология выражение, равенство, слагаемые, значение суммы. Постарайтесь не пользоваться термином примеры.

К изучению состава однозначных чисел (к их записи в виде суммы двух слагаемых) учащиеся приступают только после того, как познакомятся с предметным смыслом действия сложения.

Для усвоения состава однозначных чисел в учебнике предлагаются разнообразные задания на классификацию (при выполнении дети выделяют различные свойства предметов); на соотнесение рисунков и математических записей; на выбор рисунков, соответствующих данному числовому выражению, и на выбор числовых выражений, соответствующих данному рисунку.

При изучении нумерации двузначных чисел деятельность учащихся направляется на осозна­ние позиционного принципа десятичной систе­мы счисления и соотношения разрядных еди­ниц. Для этого используются как предметные наглядные пособия, так и калькулятор. Усвоение таблиц сложения и соответствую­щих случаев вычитания в пределах 10 и разрядного состава двузначных чисел является основой для формирования умения складывать и вычитать «круглые» десятки.

В процессе формирования этих вычислительных умений совершенствуются табличные навыки сложения и вычитания в пределах 10, поэтому рассмотрение этих случаев предшест­вует изучению таблицы сложения однозначных. чисел с переходом в другой разряд и соответс­твующих случаев вычитания.

Особенности обучения во 2 классе

Одной из важных задач курса математики II класса является формирование навыков табличного сложения однозначных чисел с пе­реходом в другой разряд и соответствующих им случаев вычитания, которые затем совершенствуются при сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел (с переходом в другой разряд) и при сложении и вычитании двузначных чисел (с переходом в другой разряд).

Во 2 классе вводится понятия задача, условие, вопрос, известные, неизвестные, данные, искомое и учащиеся овладевают умением решать текстовые задачи (простые и составные) арифметическим способом. Для этой цели используются специальные задания, вариативность которых обеспечивается разнообразными методическими приемами, такими, как вы­бор схемы, соответствующей данной задаче; постановка различных вопросов к данному ус­ловию; объяснение выражений, составленных по условию задачи; составление текста задачи по данной схеме; соотнесение текста задачи с данными решениями; сравнение текстов задач и др.

Проведенная в 1 классе подготовительная работа позволяет учащимся осознанно использовать в процессе решения задач схематическое моделирование как один из эффективных приемов поиска решения задачи.

В теме «Трёхзначные числа» продолжается работа по осознанию учениками принципа пос­троения десятичной системы счисления. Вариа­тивность заданий в этой теме обеспечивается приемами сравнения (выявление сходства и различия в записи чисел), классификации, обобщения. Использование калькулятора в ка­честве средства обучения позволяет организо­вать повторение ранее изученных вопросов, ор­ганически включив их в процесс усвоения ново­го содержания.

В теме «Умножение большое внимание уделяется разъяснению смысла этого действия и начинается работа по формированию навыков табличного умножения. Во 2 классе дети составляют и усваивают таблицы умножения с числами 8 и 9.

Особенности обучения в 3 классе

В 3 классе продолжается работа по формированию навыков табличного умножения. Она органически включается в темы «Площадь фигуры», «Измерение площади», что позволяет использовать эти понятия как наглядный материал для усвоения табличных случаев умножения. Как показывает практика, большинство учеников уже после изучения названных тем достаточно свободно ориентируются в таблице умножения. Однако эту работу можно продолжить, познакомив учеников с сочетательным свойством умножения и с правилом умножения на число 10.

В соответствии с логикой построения содержания курса учащиеся знакомятся со смыслом деления после того, как рассмотрены все случаи табличного умножения. Целесообразность такой последовательности можно аргументировать следующим: а) в математике нет таблицы деления, а есть таблица умножения и соответствующие ей случаи деления; б) ученик может вычислить результат деления, только опираясь на таблицу умножения; в) некоторые учащиеся в связи со своими индивидуальными особенностями не могут освоить табличные случаи умножения за отведенное программой время (в 3 классе это 24 ч.)

В учебнике реализован новый методический подход к разъяснению смысла деления, при котором учащиеся усваивают его не в процессе решения простых задач, а устанавливается соответствие между предметными моделями и математической записью. Это позволяет рассматривать «деление по содержанию» и «деление на равные части» (не называя терминов) одновременно, а также во взаимосвязи с умножением, что значительно облегчает усвоение этих вопросов.

Особенности обучения в 4 классе

Последовательность тем в 4 классе, так же как в предыдущих классах, позволяет органически включить повторение ранее изученного материала в процесс усвоения нового.[22, с.8-12]

2. Развитие школьников в процессе изучения начального курса математики. Формирование приемов умственной деятельности – как методология дидактической системы Истоминой Н.Б.

Термин «развивающее обучение» активно используется в психологической, педагогической и методической литературе. Тем не менее содержание этого понятия остается не до конца понятым. Безусловно, любое обучение развивает ребенка. Однако в одном случае обучение как бы надстраивается над развитием, как говорил Л. С. Выготский, «плетется в хвосте» у развития, оказывая на него стихийное влияние, в другом – целенаправленно обеспечивает его (ведет за собой развитие) и активно использует для усвоения знаний, умений, навыков. В первом случае мы имеем приоритет развивающей функции, что кардинально меняет построение процесса обучения.

Как пишет Д. Б. Эльконин – ответ на вопрос, в каком соотношении находятся эти два процесса, «осложнен тем, что сами категории обучения и развития разные.

Эффективность обучения, как правило, измеряется количеством и качеством приобретенных знаний, а эффективность развития измеряется уровнем, которого достигают способности учащихся, т.е. тем, насколько развиты у учащихся основные формы их психической деятельности, позволяющей быстро, глубоко и правильно ориентироваться явлениях окружающей действительности.

Давно замечено, что можно много знать, но при этом не проявлять никаких творческих способностей, т.е. не уметь самостоятельно разобраться в новом явлении, даже из относительно хорошо известной сферы науки [Эльконин, с. 251)].

Не случайно термин «развивающее обучение» методисты используют с большой осторожностью. Сложные динамические связи между процессами обучения и психического развития ребенка не являются предметом исследования методической науки, в которой реальные, практические результаты обучения принято описывать на языке знаний, умений и навыков.

Так как изучением психического развития ребенка занимается психология, то при построении развивающего обучения методик несомненно должна опираться на результаты исследований этой науки. Как пишет В. В. Давыдов, «психическое развитие человека – это, прежде всего, становление его деятельности, сознания и, конечно, всех «обслуживающих» их психических процессов (познавательных процессов, эмоций и т.д.). Отсюда следует, что развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения.

Из курса дидактики известно, что эта деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид деятельности преобладает, обучение оказывает различное влияние на развитие детей.

Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, затем воспроизводит. Основная цель такой деятельности – формирование у школьника знаний, умений и навыков, развитие внимания и памяти.

Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими приемами мышления или приемами умственных действий.

Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания – одно из важных условий построения развивающего обучения, так как продуктивная (творческая) деятельность оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций. «…организация развивающего обучения предполагает создание условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими не только обеспечивает новый уровень усвоения, но дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по усвоению знаний.

Анализ и синтез

Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез – это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое.

В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез – через анализ.

Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции.

Формированию этих умений может способствовать: а) рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий; б) постановка различных заданий к данному математическому объекту.

Для рассмотрения данного объекта с точки зрения различных понятий предлагаются такие задания:

Прочитай по-разному выражения 16 – 5 (16 уменьшили на 5; разность чисел 16 и 5; из 16 вычесть 5).

Как по-разному можно назвать квадрат? (Прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.)

Расскажи все, что ты знаешь о числе 325. (Это трехзначное число; оно записано цифрами 3, 2 и 5; в нем 325 единиц, 32 десятка, 3 сотни; его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых так: 300+20+5; оно на 1 единицу больше числа 324 и на 1 единицу меньше числа 326; иего можно представить в виде суммы двух слагаемых, трех, четырех и т.д.).

Прием сравнения

Особую роль играет прием сравнения. Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы:

выделение признаков или свойств одного объекта;

установление сходства и различия между признаками двух объектов;

выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов.

Работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых они могут выделить те или иные признаки, опираясь на имеющиеся у них представления.