Лекция 11: Точность систем автоматического управления

Понятие точности систем управления

Качество работы любой САУ в конечном счете определяется величиной ошибки, которая равна разности между требуемым и действительным значениями управляемой величины.

Для того чтобы ошибка измерялась в тех же единицах, что и выходная координата, необходимо структуру САУ привести к единичной о.с. с помощью структурного преобразования.

Рассмотрим это на примере:

В результате преобразования получим:

Ω _з – задаваемое значение скорости,

Ω – действительное значение скорости,

Δ Ω – ошибка (рад/сек или об/мин).

.

Ошибка обычно определяется в установившемся режиме, когда все переходные процессы завершились.

Это условие соответствует приравниванию нулю в д.у. всех производных, а в ПФ:

s = 0

В результате получим:

Если в качестве ошибки взять просто U_e, то из схемы:

Вывод: Для приведения ошибки к выходной координате необходимо определить уравнение ошибки U_e и поделить его на коэффициент передачи цепи о.с., т.е.

Отсюда, нет необходимости каждый раз производить структурное преобразование: следует получить выражение для U_e (ошибки) и поделить его на ПФ цепи о.о.с. И только затем подставить s = 0.

Примечание: Аналогично с помощью структурных преобразований приводятся к выходу возмущения (f).

Величина ошибки зависит от закона изменения сигнала U_з, которая в общем случае может быть случайным воздействием (неизвестным). Поэтому для оценки точности работы САУ используют типовые воздействия (реакции работы):

1) статический режим: U_з = const, f = const;

2) движение с постоянной скоростью: U_з = Vt, f = const;

3) движение с постоянным ускорением: , f = const.

Для исследования ошибки в САУ в этих режимах будем использовать приведенную структуру вида:

Для этой схемы имеем:

- соответственно статические ошибки по входу и возмущению.

Типовые установившиеся режимы в САУ

1. Статический режим: x = const, f = const.

а) Если W(s) не содержит интеграторов, то W(0) = K и соответственно

Вывод: Ошибка , и зависит обратно-пропорционально от K: с увеличением K ошибка уменьшается.

т.е. для увеличения точности необходимо увеличить K, но до K_кр (см. устойчивость).

б) Если W(s) содержит интегратор, то и

.

Вывод: введение интегратора уменьшает ошибку по входу в статическом режиме до нуля.

в) Ошибка по возмущению f также зависит от вида W(s) и W_f(s).

Рассмотрим эту ситуацию на примере:

Эту структуру можно привести к виду:

.

Отсюда , т.е. ошибка по f₂ равна нулю.

Вывод:

· Если W_f(s) не содержит интеграторов, то величина подчиняется тем же правилам, что и .

· Если W_f(s) содержит интеграторы, то требуется дополнительное исследование, т.е. необходимо исходить из операт. уравнения для ошибки.

Рассмотренный пример показывает, что интегратор необходимо включать (вводить) в САУ до места приложения возмущения, что и делается на практике. Регулятор с интегральными свойствами включается в слаботочную часть схему САУ.

Однако такой регулятор не может скомпенсировать погрешности устройства сравнения (чувствительный элемент) и погрешность измерения датчика цепи о.с., которые играют роль возмущений в системе.

2. Движение с постоянной скоростью: x = Vt, f = f₀ = const.

Этот режим имеет смысл в следящих системах (в астатических САУ). астатизм n-го порядка → n-количество интеграторов в контуре регулирования.

Отсюда терминология – астатизм 1^го порядка, астатизм 2^го порядка и т.д.

Пусть , где K_V – коэффициент передачи по скорости, добротность по скорости.

Тогда

Вывод: Если W(s) не будет содержать астатизма, то ошибка будет стремиться к ∞ (во времени). Поэтому для этого режима астатизм необходим.

Примечание: Значение зависит от вида W_f(s). Если эта ПФ не содержит астатизма, то ; если содержит астатизм 1^го порядка – то .

Введем в основной контур еще один интегратор. Тогда , K_ε – добротность по ускорению.

.

Вывод: Для повышения точности в следящей системе вводят обычно второй интегратор.

3. Движение с постоянным ускорением: .

Этот режим имеет смысл в следящих системах и системах программного управления. учитывая, что , имеем:

.

Первое слагаемое не равно ∞ только при астатизме 2^го порядка, т.е. при .

.

Обобщение: Пусть ,

.

Тогда

.

Отсюда:

1) Если n > m, то ;

n = m, то ;

n < m, то (неработоспособная САУ).

2) Если n > r, то ;

n = r, то ;

n < r, то (неработоспособная САУ).

Окончательный вывод: Для получения ошибки равной нулю необходимо, чтобы порядок астатизма САУ был больше астатизма воздействия.

4. Движение по гармоническому закону (гармонический режим):

x = x_max sun ω _kt, f = f₀ = const.

Этот закон обычно связан с заданными ограничениями на входной сигнал в следующем виде:

Дано: Ω _max – максимальная скорость движения,

ε _м – максимальное ускорение движения.

Определить: ω _k и x_max =? – т.е. эквивалентный сигнал с ω _k и x_max.

Решение: ,

- выражение ускорения.

Т.е. .

Поделив второе уравнение на первое, получим:

.

Из первого уравнения далее получим:

.

Вывод: Эквивалентный гармонический режим – удобная форма, которая базируется на реальных исходных данных и физически реализуема (в отличие от движения с постоянными скоростью и ускорением). Этот типовой сигнал x(t) наиболее часто используется при частотных методах расчета.

Рассмотрим ошибку по входу, т.е. по x(t)

.

Точность в этом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки при ω = ω _k:

.

Так как предполагается, что в САУ e_м < < x_м, то W(jω _k) > > 1 и поэтому

По этой формуле легко рассчитывается ошибка в установленном режиме по ЛАЧХ или АФХ разомкнутой САУ (точнее очевидно по ЛАЧХ).

Примечание: Эта формула в дальнейшем буден использована при построении желаемой ЛАЧХ, точнее ее низкочастотной части. В этом случае сначала определяют и откладывают контрольную точку А(ω _к). Затем над ней проводят искомую низкочастотную часть (обычно под наклоном -20 дб/дек или -40 дб/дек).

Коэффициенты ошибок

Этот метод применим для оценки ошибок системы как по входу x(t), так и по возмущению f(t). Рассмотрим методику применительно к x(t), которая в этом случае должна быть гладкой (дифференцируемой).

Разложим по степеням s (ряд Маклорена)

При переходе во временную область получим

Здесь величины с_i – называются коэффициентами ошибок. Они определяются по Тейлору:

.

Величины этих коэффициентов характеризуют составляющие ошибки и x(t).

Так как ПФ представляет дробно-рациональную функцию, то с_i можно получить делением числителя на знаменатель ПФ.

Для типовых режимов имеем:

1) статический режим x = x₀ = const → e_уст = c₀x₀

2) движение с . [С учетом астатизма с₀=0]

3) если САУ имеет астатизм 2^го порядка, то с₀ = с₁ = 0, а , с₂ – коэффициент ошибки от ускорения.

Пример: Пусть ПФ разомкнутой САУ имеет следующий вид:

.

Тогда

Поделим числитель на знаменатель:

Пусть x(t) = 5 + 20t + 20t², тогда x⁽¹⁾(t) = 20 + 40t, x⁽²⁾(t) = 40.

Поэтому . Пусть Т₂ = 0, 02; Т₁ = 0, 2; K_V = 10, тогда e(t) = 2, 48 + 4t.