Лекция 9: Устойчивость линейных САУ

Алгебраические методы определения устойчивости. Понятие об устойчивости.

Любая динамическая система может быть охарактеризована переходным процессом, который возникает при действии на САУ различных возмущений и управляющих воздействий. При этом переходные процессы, например, по возмущению могут иметь следующий вид:

а) б)

Пример из механики:

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это полезное свойство → работоспособность.

Если система неустойчивая, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс. Это плохое свойство системы → она является неработоспособной.

Другими словами: Устойчивой является такая САУ, в которой переходные процессы затухают. Имеется еще граница устойчивости → равномерные колебания.

История вопроса: Ранее этой теме уделялось основное внимание. И проектирование сводилось к построению устойчивой САУ. предполагалось, что о.о.с. придает свойство точности, хотя колебательность системы увеличивается. Поэтому, если при введении о.о.с. и корректирующего звена (регулятора) САУ становится устойчивой, то этого достаточно для качества.

Корневой метод оценки устойчивости САУ

Устойчивость, очевидно, определяется свойствами САУ, т.е. ее характеристиками, в частности параметрами ее математической модели.

Известно, что для любого возмущения действующего на замкнутую САУ, справедливо:

y(t) = y_уст(t) + y_п(t) – решение дифференциальных уравнений САУ,

где y_уст(t) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью, описывающее вынужденный режим работы системы, который устанавливается по окончании переходного процесса.

y_п(t) – общее решение однородного уравнения.

W(s) + 1 = 0, т.е. характеристическое уравнение.

Здесь W(t) – передаточная функция разомкнутой САУ.

Т.е. , , D(s) = A(s) + B(s) = 0,

где D(s) – характеристический полином.

Решение y_п(t) затухает, т.е. стремится к нулю, если система устойчива, и наоборот y_п(t)→ ∞, если неустойчива.

, где λ _i – корни D(A) = 0

с_i – постоянные интегрирования, которые определяются начальными условиями.

В общем случае корни λ _i являются комплексными.

где α _i – может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Каждая такая пара комплексно-сопряженных корней дает в выражении (1) составляющую переходного процесса вида

,

где β _i – является круговой частотой, т.е. типа ω.

Доказательство:

Здесь с₁ и с₂ также комплексно сопряжены

с₁ = А + jВ, с₂ = А – jВ

или

или , .

Доказательство сопряженности с₁ и с₂:

→ , М, N, - начальные условия.

Отсюда

, т.е. с₁ и с₂ – комплексно сопряжены.

При этом результат y(t) не зависит от знака перед β.

Например, пусть с₁ = А – jВ, с₂ = А + jВ, тогда

Анализ:

Как видно из этого соотношения переходный процесс затухает при α _i< 0, и наоборот расходится при α _i> 0.

При α _i=0 – корни мнимые, сто соответствует незатухающим колебаниям (граница устойчивости)

В частном случае при β _i=0 имеем действительные корни λ _i=α _i и соответственно апериодический переходный процесс.

Вывод: Условие устойчивости связано с условием α _i< 0. Т.е. все корни D(s) (полюса знаменателя ПФ замкнутой САУ) должны иметь отрицательную действительную часть.

На комплексной плоскости условие устойчивости отображается в следующем виде:

Корни характеристического уравнения устойчивой системы располагаются в левой полуплоскости.

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Проблема: Таким образом, если корни D(s) определены, то задача устойчивости можно сказать решена. В настоящее время корни полиномов легко определяются с помощью специальных программ, например, MathCad, MatLab.

Ранее ЭВМ не было и решение поставленной задачи представляло большие трудности. Поэтому все усилия были направлены на то, как определить устойчивость САУ, не решая дифференциальных уравнений. В результате были разработаны критерии устойчивости, которые позволяют оценивать устойчивость САУ по косвенным признакам.

Необходимые и достаточные условия устойчивости

Инженеру в практических расчетах требуется также часто давать оценку устойчивости САУ на ранних стадиях проектирования, например, определять устойчивость исходной некорректированной системы.

В первую очередь необходимо проверить выполнение необходимого условия устойчивости, которое сводится к положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Покажем это:

- теорема Виета

или с учетом отрицательности α _i< 0 перепишем:

.

Учитывая, что

,

Получим после раскрытия скобок и приведения подобных членов характеристического уравнения все положительные коэффициенты.

Вывод: Перед применением критерия устойчивости характеристический полином проверяют на положительность коэффициентов. Если это условие выполняется, то переходят к оценке устойчивости с помощью??? критерия.

Наиболее известными критериями являются критерии устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста. Критерии являются достаточным условием устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица

Гурвиц – швейцарский математик конца 19 века.

Пусть , где а₀> 0.

- определитель Гурвица.

Условие устойчивости:

Положительность определителя и всех его миноров.

Пример: - ПФ разомкнутой САУ.

Отсюда:

→ .

Необходимое условие выполняется: все коэффициенты α _i> 0.

.

Из этого неравенства можно определить соотношение k и постоянной времени

.

Вывод: 1. Как видно из полученных соотношений критерий Гурвица становится неудобным при большом порядке D(s). Обычно выше четвертого порядка критерий не используется.

2. Достоинства критерия – алгебраическая форма, позволяющая проанализировать влияние параметров САУ на устойчивость.