Формы записи комплексных чисел

Используя операции сложения и умножения комплексных чисел, запишем комплексное число в виде:

.

Эта форма записи комплексного числа называется алгебраической формой.

Комплексные числа, записанные в алгебраической форме можно складывать и умножать как обычные двучлены, учитывая, что .

Пример. .

Определение. Два комплексных числа и , которые отличаются знаком у мнимой части, называют комплексно сопряженными числами.

Подчеркнем, что .

Операцию деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, можно определить с помощью операции умножения. А именно, чтобы вычислить значение надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю:

.

Пример. .

Используя понятие модуля и аргумента комплексного числа можно записать:

.

Эту форму записи называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить, используя свойства модуля и аргумента.

Введем обозначение (позже мы увидим, что введенный здесь формально символ есть не что иное, как ). Тогда получим показательную форму записи комплексного числа:

.

Таким образом, всякое комплексное число можно записать в трех формах:

.

В силу указанных свойств модуля и аргумента, операции умножения и деления комплексных чисел удобнее выполнять, если эти числа записаны в тригонометрической или показательной форме.

Пример. Записать комплексное число в трех формах записи.

Решение. - алгебраическая форма записи. , ,

- тригонометрическая форма записи,

- показательная форма записи.

Пример. Вычислить , если , .

Решение. Запишем данные комплексные числа в показательной форме. , , . , , . Тогда .