Определение интеграла от функции комплексного переменного

Пусть на комплексной плоскости задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , вдоль которой определена функция .

Замечание. Дуга называется гладкой, если она может быть задана непрерывно-дифференцируемой функцией. Кривая, состоящая из конечного числа гладких дуг, называется кусочно – гладкой.

Разобьем эту кривую на частей точками , пронумерованными в направлении от - начальной точки кривой , до - конечной точки . Обозначим через (). В каждой части выберем произвольно точку () и составим сумму:

,

которую назовем интегральной суммой.

Устремим в бесконечность так, чтобы .

Определение. Если существует предел интегральной суммы при условии произвольного способа разбиения кривой на части, произвольного выбора точек () и при условии , то этот предел называется интегралом от функции по дуге (контуру) и обозначается:

.

Из определения интеграла следует, что его значения зависят не только от функции , но и от пути интегрирования Г. Если кривая замкнутая (точки и совпадают), то интеграл обозначают символом: .

Если функция непрерывна вдоль кривой , то интеграл существует.

Пусть и ,

тогда

.

Таким образом, интеграл от функции комплексного переменного равен сумме двух криволинейных интегралов 2-го рода от вещественных функций:

.

Если кривая задана параметрическим уравнением:

(или ), тогда:

.

Замечание. Довольно часто в качестве параметра выбирают угол: .

Поскольку интеграл от функции комплексного переменного сводится к криволинейным интегралам второго рода от действительных функций, то его свойства будут аналогичны известным свойствам криволинейных интегралов:

· ,

где и - один и тот же контур, проходимый в положительном и отрицательном направлениях (в качестве положительного направления обхода замкнутого контура принимается направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения).

· .

· .

· .

· Если вдоль кривой : , и длина кривой есть , то .

· , - дифференциал длины дуги.

Пример. Вычислить интеграл , где - дуга параболы от точки 0 до точки .

Решение. Так как для всех точек кривой имеем: , то

Пример. Вычислить интеграл , где - часть окружности , .

Решение.