Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Определение. Вещественный ряд называют положительным, если для .

Пусть даны два положительных ряда и .

Теорема 5 (Признак сравнения). Пусть, начиная с некоторого номера, . Тогда:

· из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

· из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 6 (Предельный признак сравнения). Пусть существует предел . Тогда:

· при ряды и сходятся или расходятся одновременно;

· при из сходимости ряда следует сходимость ряда .

· при из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится (). Имеем . Следовательно, по теореме 5 данный ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом: , который расходится. Так как , то по теореме 6 исходный ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Исследуем сходимость этого ряда с помощью предельного признака сравнения. Так как при , (эти величины эквивалентны), то для сравнения берем ряд с общим членом , т.е. ряд (гармонический ряд). Имеем: . Следовательно, по предельному признаку сравнения исходный ряд расходится.

Замечание. Применяя признаки сравнения, рекомендуется использовать ряды, сходимость которых заранее известна. Такими рядами, в частности, являются: ряд геометрической прогрессии, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд, сходимость которого будет исследована позже.

Теорема 7 (Признак Даламбера). Пусть - положительный ряд, и существует конечный или бесконечный предел (). Тогда, при ряд сходится, а при - расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим , . Применяя признак Даламбера, получаем . Следовательно, ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд ;

Решение. , . Тогда = . Ряд сходится.

Теорема 8 (Радикальный признак Коши). Пусть - положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел . Тогда, при ряд сходится, а при - расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применяя признак Коши, получим . Ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применяя признак Коши для исследования сходимости ряда: , поэтому ряд сходится.

Замечание. Применяя признак Коши, полезно использовать пределы и формулу Стирлинга , выражающую значение через степенную функцию. Здесь знак означает, что указанные бесконечно большие величины эквивалентны.

Замечание. При признаки Даламбера и Коши не дают ответ на вопрос о сходимости ряда. В этом случае необходимы дополнительные исследования. Иногда здесь помогают более сложные признаки (признаки Раабе, Гаусса и другие). Во многих случаях эффективен интегральный признак Коши.

Пусть числовой ряд имеет вид , т.е. каждый член ряда может быть записан как значение некоторой функции при целочисленных значениях аргумента. Причем функция непрерывна, положительна и монотонно убывает. Функция будет монотонно возрастающей, т.к. , т.е. при будет иметь конечный либо бесконечный предел, а следовательно, и несобственный интеграл будет либо сходящимся, либо расходящимся.

Теорема 9 (Интегральный признак Коши). Ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле): , где - действительное число,

Решение. Для исследования сходимости применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают). Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем: .

При имеем гармонический ряд , который расходится ().

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при , расходится при .