Область сходимости степенных рядов

Пусть М – множество всех , для которых ряд сходится.

Определение. Число (конечное или бесконечное) называют радиусом сходимости ряда.

Если , то для всех таких, что: - ряд абсолютно сходится, а если ряд расходится. Если , то ряд абсолютно сходится при всех .

Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по одной из формул: , или .

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. В данном случае коэффициенты степенного ряда: . Воспользуемся формулой

= . Отсюда следует, что данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. = Для определения радиуса сходимости удобно воспользоваться другой формулой: . Значит, ряд сходится только в точке и расходится при всех .

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. = .

Применим признак Даламбера к ряду из модулей членов функционального ряда.

; ;

.

Тогда, при ряд сходится, т.е. область сходимости: , , есть интервал - .

Если , имеем ряд . Этот ряд сходится как обобщеный гармонический при .

Если , получаем ряд . Этот ряд сходится, так как сходится ряд . Значит, исходный ряд сходится при .