Сходимость функционального ряда

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если сходится соответствующий ему числовой ряд .

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в области , если он сходится в каждой точке этой области.

Определение. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области , если в этой области сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. сходится ряд .

Определение. Функциональный ряд называется условно сходящимся в области , если он сходится в этой области, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Определение. Областью сходимости (абсолютной сходимости) функционального ряда называют множество тех значений , при которых ряд сходится (абсолютно сходится).

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех - это область сходимости; сумма ряда равна: .

Пример. Найти область сходимости ряда: .

Решение. Рассмотрим ряд из модулей членов и применим к нему признак Даламбера:

= .

(Здесь использована эквивалентность бесконечно малых: при ). Таким образом, ряд абсолютно сходится при любом .