Производные основных элементарных функций

· Показательная функция .

Имеем .

Действительная и мнимая части будут, соответственно,

.

Находим частные производные: . Следовательно, , т.е. условия Коши-Римана выполнены, значит, функция аналитическая, и ее производная:

.

· Функция .

По определению: . Т.е. является аналитической функцией, тогда, пользуясь правилами дифференцирования, получим:

.

· Функция .

Аналогично предыдущему:

.

· Функция .

.

· Функция .

.

· Функция .

Логарифмическая функция является обратной к показательной функции, а значит – аналитической. Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции.

Имеем: , тогда

.

· Функция .

Производную степенной функции вычислим непосредственно по определению:

. Предел существует, следовательно, функция аналитическая, и ее производная:

.

Таким образом, мы показали, что основные элементарные функции комплексного переменного являются аналитическими функциями. Следовательно, всякая функция комплексного переменного, являющаяся композицией конечного числа основных элементарных функций, будет аналитической или дифференцируемой в области своего определения.

Пример. Вычислить производную функции .

Решение. Имеем: =

= .

1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части

Условия, при которых функция комплексного переменного дифференцируема, достаточно жесткие. Поэтому, аналитическая функция, с точностью до постоянного слагаемого, может быть задана свой действительной или мнимой частью.

Действительная и мнимая части функции , аналитической в некоторой области D, связаны условиями Коши – Римана:

.

Пусть известна одна из частей аналитической функции, например . Из условия: можно найти (с точностью до неизвестной функции ). Эту функцию , с точностью до постоянного слагаемого, найдем из второго условия .

А именно, или .

Пример. Найти аналитическую функцию , если известна её мнимая часть .

Решение. Так как , то из условия находим: . Следовательно, , где функция пока неизвестна. Для нахождения функции дифференцируем это равенство по y и приравниваем к известной производной, используя условие :

, откуда

Следовательно, Окончательно получаем

= .

Ответ. .