Уравнения в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(7)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

,

где .

Для того чтобы уравнение (7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.

Если уравнение (7) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде

.

Общий интеграл этого уравнения , где – произвольная постоянная.

Функция может быть найдена следующим образом. Интегрируя равенство

по при фиксированном и, замечая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , имеем

( играет роль константы в неопределённом интеграле).

Чтобы найти функцию , воспользуемся вторым уравнением . Для этого продифференцируем найденную функцию по переменной

.

Отметим, что в получаемом на этом этапе решения дифференциальном уравнении не должно остаться членов, содержащих . Решив это уравнение, найдём функцию и тем самым общий интеграл исходного уравнения

.

1.2. Дифференциальные уравнения высших порядков: основные определения, теорема Коши.

Определение. Дифференциальным уравнением n- го порядка называется уравнение вида

(8)

или

. (9)

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения (9) называется задача отыскания решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям

. (10)

Определение. Общим решением уравнения (8) или (9) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с начальными условиями (10) найдутся постоянные , определяемые системой уравнений

Определение. Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если дифференциальное уравнение (9) таково, что функция в некоторой области измерения свих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки существует интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (10).