Задание к выполнению типового расчета.

1. Ответить на теоретические вопросы.

2. В примерах с 1 по 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения.

3. В примере 12 проинтегрировать систему дифференциальных уравнений.

Примерный типовой вариант №0.

1.

2.

3.

4.

5. при

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Решение примеров типового варианта №0.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем

.

Интегрируем

,

,

отсюда – общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь , т.е. . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым, так как его можно получить из общего решения при .

Пример 2. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Данное уравнение является однородным вида

Положим , тогда , . Подставляя в данное уравнение, получим:

, отсюда ,

т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные

Интегрируем обе части последнего равенства

,

.

Учитывая, что , получаем

или – общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным. Решим это уравнение методом Бернулли. Сделаем подстановку: . Имеем:

,

. (17)

Функцию выберем так, чтобы

, отсюда

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем

,

.

Подставим найденную функцию в уравнение (17), получим

,

.

Вспоминая, что окончательно получаем общее решение данного дифференциального уравнения

.

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Здесь

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

Проинтегрируем первое равенство по

.

Продифференцируем функцию по

.

Используя второе равенство , получаем уравнение

,

откуда находим:

,

.

Тогда . Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

.

Пример 5. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Интегрируя первый раз, получаем:

.

Повторное интегрирование даёт

.

Таким образом – общее решение дифференциального уравнения.

Подставив теперь в полученное общее решение и выражение для первой производной начальные условия, получим систему двух уравнений с неизвестными :

Решив эту систему, найдём значения параметров . Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение не содержит и . Положим , тогда , и уравнение принимает вид:

,

или

.

Это линейное уравнение первого порядка относительно функции . Решаем его методом Бернулли, т.е. делаем подстановку , :

Выбираем функцию так, чтобы – это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Тогда

Учитывая, что , получаем

Вспоминая, что , имеем

.

Последовательно проинтегрировав два раза, найдём общее решение заданного дифференциального уравнения:

.

Пример 7. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Положим . Тогда уравнение преобразуется к виду

.

Приведя подобные и сократив на (при этом следует учесть теряемое решение , или ), получим:

.

Положив здесь , придём к уравнению

.

Сократив на z (при этом следует учесть ещё одно решение , т.е. ), получим

,

откуда

,

или

.

Интегрируя последнее уравнение, находим:

или

.

Окончательно получим – общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 8. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составляем х арактеристическое уравнение: .

Находим дискриминант и корни квадратного уравнения:

Запишем фундаментальную систему решений: . Следовательно, общее решение имеет вид

.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Для функции имеем, . Характеристическое уравнение есть , его корни , то есть является корнем характеристического уравнения кратности 1. Частное решение будем искать в виде . Найдем , . Подставляем в уравнение:

,

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

Решая систему, находим Таким образом, общее решение уравнения будет .

Пример 10. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Решение. Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни . Общее решение однородного уравнения будет

.

Правую часть неоднородного уравнения запишем в виде суммы двух функций и , для которых частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов.

Частное решение, соответствующее правой части будем искать в виде:

.

Имеем

, .

Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью ) и сокращая на , получим

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и находим:

,

отсюда .

Таким образом,

Частное решение, соответствующее правой части , запишем в виде:

.

Имеем

, .

Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью ), получим

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, получим

,

отсюда .

Таким образом, .

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть , или

.

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Решение: Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Для его решения используем метод вариации произвольных постоянных.

Прежде всего решим однородное уравнение . Это дифференциальное уравнение второго порядка типа , допускающее понижение порядка. Для его решения введем переменную , следовательно . После подстановки новой переменной в однородное уравнение будем иметь , или разделяя переменные, получим . Интегрируя последнее уравнение, получим

, или , откуда

, или .

Переходя к переменной y, решим уравнение

, откуда .

Разделим переменные , проинтегрируем

, т.е. .

Будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде , где и - неизвестные произвольные функции, а и - два частных решения однородного дифференциального уравнения, образующие фундаментальную систему решения, так как определитель Вронского для них

.

Для приведенных уравнений второго порядка соответствующая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных и может быть записана в виде

, или

Отсюда , следовательно

.

Подставляя в первое уравнение, получим , откуда

.

Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид

,

где A и B – произвольные постоянные.

Пример 12. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

Решение. Продифференцируем первое уравнение системы по t, получим

.

Подставим в полученное уравнение значение из второго уравнения системы

.

Заменяя функцию y ее выражением из первого уравнения системы

, (18)

приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции x

, или .

Последнее уравнение – это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решая характеристическое уравнение , находим корни .Таким образом, общее решение дифференциального уравнения . Дифференцируя последнее уравнение по t, находим

.

Подставим выражение для x и в равенство (18) и приведем подобные члены

Функции , являются решениями данной системы.

Варианты заданий для самостоятельного решения.

Вариант 1

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 2

1.

2.

3. при

4.

5.

6. при ,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 3

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. при ,

9.

10.

11.

12.

Вариант 5

1.

2.

3. при

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 6

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 7

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 8

1.

2.

3. при

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 9

1.

2. при

3.

4.

5.

6. при ,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 10

1.

2. при

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 11

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 12

1.

2.

3. при

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 13

1.

2.

3.

4. при

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 14

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 15

1.

2.

3. при

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 16

1.

2. при

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 17

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 18

1.

2.

3. при

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 19

1.

2.

3. при

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 20

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 21

1.

2. при

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 22

1.

2. при

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 23

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 24

1.

2. при

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Вариант 25

1. при

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 2002.

3. Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах.Ч.2 - М.: «Высшая школа», 1986.

4. Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: «Высшая школа», 1976.

5. Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. – М., 2001.

6. Пантелеев А.В., Якимов А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Наука, 1985.