Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

(14)

где – постоянные коэффициенты (числа).

Квадратное уравнение

(15)

называется характеристическим уравнением для уравнения (14) и получается из уравнения (14) путём замены производных на степени .

Для составления общего решения дифференциального уравнения (14) необходимо найти корни и соответствующего характеристического уравнения (15) и применить следующую теорему:

Теорема 5. Пусть и – корни характеристического уравнения для уравнения (14). Тогда общее решение уравнения (14) находится по одной из следующих формул:

1) Если и – действительные и , то

;

2) Если и – действительные и , то

;

3) Если – комплексно-сопряжённые корни , то