Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Распределенной случайной величины
|
|
Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными значениями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.
Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью a – уровнем значимости, и рассмотрим выборку 
из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине x, имеющей распределение 
, где q – неизвестный параметр. Предположим, что удалось найти две такие функции 
и 
, для которых:
1) < при всех ;
2) 
.
В этом случае интервал 
называется доверительным интервалом для параметра q, соответствующим доверительной вероятности 
.
В ряде практически важных случаев функции и можно найти в явном виде.
Чтобы привести соответствующие примеры, обратимся к интервальному оцениванию параметров нормально распределенной случайной величины.
Доверительные интервалы для математического ожидания
Известная дисперсия D[x]
Пусть x – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией D[x]. Задача состоит в построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания а.
В качестве оценки параметра а возьмем выборочное среднее 
. Относительно случайных величин 
и 
известно следующее:
1) случайная величина распределена нормально и ее математическое ожидание равно 
;
2) случайная величина тоже распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю, 
;
3) дисперсия случайной величины равна 
;
4) случайная величина 
распределена нормально.
Таким образом, построена функция – «агрегат» из выборочных значений, который представляет собой случайную величину со стандартным распределением, в данном случае – с нормальным. Распределение не зависит ни от оцениваемого параметра а, ни от единиц измерения выборочных значений.
Пусть Ф(х) – функция распределения случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение:
.
Зададимся доверительной вероятностью a и определим величину 
из уравнения 
.
Из рис. 1 видно, что если случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью (1-a) ее значение попадает в интервал 
. Так как случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью (1-a) ее значение тоже лежит в интервале и, следовательно, с вероятностью (1-a) выполняется неравенство 
.
Рис. 1. Доверительный интервал для математического ожидания
Это означает, что с вероятностью р=1-a интервал 
накрывает неизвестный параметр а. Получен универсальный алгоритм построения доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания при известной дисперсии.
Итак, в данном случае 
.
Неизвестная дисперсия D[x]
Если из выборочных значений составить случайную величину , то, естественно, возникает вопрос о вычислении «аналога» D[x]. Обычно вместо D[x] подставляют оценку дисперсии 
и рассматривают величину 
, которая распределена не по нормальному закону, а по закону Стъюдента с п – 1 степенями свободы[2].
Опять зададимся доверительной вероятностью a и определим величину 
из уравнения 
, где 
- функция распределения Стъюдента с п – 1 степенями свободы.
Строим доверительный интервал 
.
Этот интервал с вероятностью 1- a накрывает оцениваемый параметр а, т.е. неравенства
выполняются с вероятностью 1- a, и в этом случае 
.
Доверительный интервал для дисперсии