Неизвестное математическое ожидание

Требуется найти доверительный интервал для неизвестной дисперсии s² нормально распределенной случайной величины x, если не известно ее математическое ожидание. Составим для s² оценку и рассмотрим отношение .

Здесь – оценка неизвестного математического ожидания.

Можно доказать, что случайная величина имеет c ²- распределение с п–1 степенями свободы. Определим квантили и так же, как и ранее, по c ²- распределению с п-1 степенями свободы.

Тогда

т.е. – доверительный интервал для неизвестной дисперсии.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Приведем алгоритм построения доверительного интервала для коэффициента корреляции. Пусть – выборка объема п из двумерной случайной величины . Точечной оценкой коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции (см. точечную оценку).

Если, как обычно, – решение уравнения , то доверительный интервал, накрывающий коэффициент корреляции с вероятностью , имеет вид

.

Здесь – гиперболический тангенс, а – обратная гиперболическому тангенсу функция, которую можно найти из уравнения .

Найденный доверительный интервал, конечно, приближенный. Однако уже при небольших объемах выборки он практически не отличается от точного значения.