Контрольная работа. Задание 1. Найти вероятность событий.

Задание 1. Найти вероятность событий.

1. Завод изготовляет валики, каждый из которых имеет дефект с вероятностью p. Валик проверяется одним контролером, обнаруживающим дефект с вероятностью p₁(если дефект не обнаружен, то валик идет в готовую продукцию). Кроме того, контролер может забраковать валик, не имеющий дефекта, с вероятностью α. Найти вероятности следующих событий:

А = «валик будет забракован»

В = «валик будет ошибочно забракован»

С = «валик, имеющий дефект, будет пропущен в готовую продукцию».

2. Истребитель атакует бомбардировщик, делает один выстрел и сбивает бомбардировщик с вероятностью p₁. Если этим выстрелом бомбардировщик не сбит, то он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p₂. Если истребитель этим выстрелом не сбит, то он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p₃. Найти вероятность следующих событий:

А = «сбит бомбардировщик»

В = «сбит истребитель»

С = «сбит хотя бы один самолет»

3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, а для третьей – 1%. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

4. В помещении завода имеется 5 одинаковых машин. Для каждой машины вероятность того, что она в данный момент работает, составляет 0, 9. Найти вероятность того, что в данный момент работает по меньшей мере одна машина.

5. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

6. По данным одного из участков станции технического обслуживания автомобилей деталь А заменяется в среднем в 36% случаев, деталь В – в 42% случаев, а одновременно детали А и В подлежат замене в среднем в 30 % случаев аварий автомобилей.

а) Зависят ли одна от другой замена деталей А и В?

б) Найти вероятность того, что деталь В будет заменена, если деталь А уже заменена.

7. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0.7, если она изготовлена на первом станке, 0.8 – если на втором станке и 0.9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной. Оценить вероятность того, что бездефектная деталь была изготовлена на втором станке.

8. На студии телевидения установлены 3 камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, составляет 0, 6. Найти вероятность того, что в данный момент включена по меньшей мере одна камера.

9. В группу спортсменов входят 20 гребцов, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность достижения требуемой квалификационной нормы составляет соответственно: 0.9, 0.8 и 0.75. Найти вероятность того, что выбранный в случайном порядке спортсмен достигнет требуемой нормы.

10. Вероятность, что расход электроэнергии в течение произвольно взятого часа не превысит установленной нормы, составляет p = 3/4. Найти вероятность того, что из ближайших 6 часов расход энергии в течение 4 часов не превысит нормы.

Задание 2. Заданы дискретные случайные величины.

1. На двух автоматических станках производятся однотипные детали. Законы распределения числа X и Y выпускаемых в течение смены бракованных деталей соответственно для первого и второго станка заданы таблицами:

Составить закон распределения количества бракованных деталей, выпускаемых в течение смены на обоих станках, и вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

2. Вероятность того, что часы нуждаются в дополнительной регулировке, равна 0, 2. Составить закон распределение количества часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, среди трех случайно отобранных. По полученному закону распределения найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Результат проверить по соответствующим формулам математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

3. Из имеющихся шести билетов лотереи, из которых четыре невыигрышных, наудачу вынимают по одному билету до тех пор, пока не встретится выигрышный билет. Составить закон распределения случайной величины X – числа вынутых билетов, если каждый вынутый билет обратно не возвращается. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

4. Студент может сдавать экзамен не более четырех раз. Составить закон распределения случайной величины X – числа попыток сдать экзамен, если вероятность его сдачи – 0, 75 и в дальнейшем возрастает на 0, 1 при каждой следующей попытке. Найти дисперсию этой случайной величины.

5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Составить закон распределения случайной величины X–Y и проверить свойство дисперсии D(X –Y) = D(X) + D(Y).

6. Среди пяти однотипных часов, имеющихся в мастерской, только в одних смещен маятник. Мастер проверяет наудачу взятые часы. Просмотр заканчивается, как только обнаружатся часы со смещенным маятником (проверенные часы снова не просматриваются). Составить закон распределения числа просмотренных мастером часов и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

Составить закон распределения случайной величины X² + 2Y и проверить свойство математического ожидания: M(X² + 2Y) = M(X²) + 2M(Y).

8. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения x₁ = 1 и x₂ = 2, имеет математическое ожидание, равное 7/6. Найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои значения. Составить закон распределения случайной величины 2 X² и найти ее дисперсию.

9. Две независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

Составить закон распределения случайной величины Z = X²·Y. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

10. Две независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

Найти P(X= 3) и P(Y= 4). Составить закон распределения случайной величины X – 2Y и проверить свойства математического ожидания и дисперсии: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

Задание 3. Заданы случайные величины, распределенные по нормальному закону.

1. Случайная величина распределена нормально. Найти , если и .

2. Случайная величина распределена нормально. Найти , если и .

3. Случайная величина распределена нормально. Найти , если и .

4. Для случайной величины , распределенной по нормальному закону, найти .

5. Для случайной величины , распределенной по нормальному закону, найти .

6. Для случайной величины , распределенной по нормальному закону, найти .

7. Независимые случайные величины и распределены нормально, ; ; ; . Записать плотность вероятностей и функцию распределения их суммы. Найти и .

8. Независимые случайные величины ξ, η, ζ распределены по нормальному закону и Мξ = 3; Dξ = 4; Мη = –2; Dη = 0.04; Мζ = 1; Dζ = 0.09. Записать для их суммы плотность вероятностей и функцию распределения. Найти и

9. Независимые случайные величины ξ, η, ζ распределены нормально и ; ; ; ; ; . Записать для их суммы плотность вероятностей и функцию распределения. Найти и .

10. Станок автомат изготовляет валики, контролируя их диаметры ξ. Считая, что ξ распределена нормально и , , найти интервал, в котором с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Задание 4. В нижеследующих задачах выборка объемом задана таблицей:

где результаты измерений ; – частоты, с которыми встречаются значения .

1) построить полигон относительных частот ;

2) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;

3) вычислить теоретические частоты . Построить график на одном рисунке с полигоном;

4) с помощью критерия χ ² проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0, 05.

1. a=4; b=3; 2. a=3; b=2; 3. a=5; b=1; 4. a=1; b=4; 5. a=3; b=5;

6. a=2; b=3; 7. a=4; b=1; 8. a=2; b=5; 9. a=1; b=2; 10. a=5; b=4.

Задание 5. Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков X и Y объемом n = 100 задана корреляционной таблицей:

Y X
			–	–	–
				–	–
	–	8+a	12+b	–	–	20+(a+b)
	–	–	16–a	14–b	–	30–(a+b)
	–	–			–
	–	–
	–	–	–
		19+a	42+b–a	31–b		n = 100

где ; .

1) Найти и σ _y. Значения и σ _x взять из предыдущей задачи.

2) Вычислить коэффициент корреляции . Сделать вывод о характере связи между признаками X и Y.

3) Построить уравнение прямой линии регрессии Y на X в виде .

4) На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

1. a=4; b=3; 2. a=3; b=2; 3. a=5; b=1; 4. a=1; b=4; 5. a=3; b=5;

6. a=2; b=3; 7. a=4; b=1; 8. a=2; b=5; 9. a=1; b=2; 10. a=5; b=4