Использование F-критерия

С помощью F-критерия можно оценить качество построенной функции.

Поскольку при заданном объеме наблюдений (, ) факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы - коэффициента регрессии , то говорят, что данная сумма квадратов имеет одну степень свободы.

К этому же выводу мы придем формальным путем, а именно, . Но свободный член , тогда

при заданном наборе переменных и , расчетное значение является в линейной регрессии функцией только одного параметра . Соответственно факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы равное 1.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы, т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Значит число степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показывать, сколько независимых отклонений из возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так для общей суммы квадратов требуется независимое отклонение, ибо по совокупности из единиц после расчета среднего уровня , свободно варьируют лишь числом отклонений.

Например, имеем ряд 1, 2, 3, 4, 5. Среднее =3, тогда n отклонений от среднего: -2, -1, 0, 1, 2. Т.к. то свободно варьируют 4 отклонения, а пятое может быть определено, если 4 известны.

Число степеней свободы в левой и правой частях соотношения (*) должно совпадать, то число степеней свободы второго слагаемого должно быть равно (n - 2).

То есть .

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что тоже самое, дисперсию на одну степень свободы D

.

Это приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточные дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F - отношения (F- критерия):

, где F- критерий для проверки нулевой гипотезы : .

Если нулевая гипотеза справедлива, то и не отличаются друг от друга. Для необходимо опровержение, то есть, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

- это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности.

F -критерий - это оценивание качества уравнения регрессии, которое состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого производится сравнение фактического и значений F критерия Фишера-Снедекора. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

.

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно .

Если < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Если > , то - гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.