Коэффициента детерминации.

Геометрическая интерпретация наглядна для n = 3.

Пусть имеем:

, , где .

Необходимо найти такие значения оценок и , при которых вектор наилучшим образом аппроксимирует вектор Y, т.е. вектор остатков будет иметь минимальную длину. Очевидно, решением задачи будет такой вектор , для которого перпендикулярно плоскости , образуемой векторами S и X, а значит и .

Условием перпендикулярности пары векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

или ,

или ,

т.е. мы получили те же условия, из которых находятся и МНК. Вектор OP есть ортогональная проекция Y на вектор S. Из векторной алгебры известно, что длина такого вектора равна:

.

Итак, .

Вектор - есть ортогональная проекция на плоскости .

По теореме стереометрии о трех перпендикулярах, проекция вектора на вектор S совпадает с OP. Следовательно, прямоугольный треугольник PMN образуют векторы PM, PN, NM.

по теореме Пифагора: .

Это равенство соответствует разложению TSS=RSS+ESS, поэтому - коэффициент детерминации примет вид:

, где - угол между векторами PN и PM.

При геометрическая интерпретация регрессии сохраняется, однако теряет наглядность.