Интервальная оценка функции регрессии и её параметров.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью - критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.

Рассчитываются: .

Уравнение регрессии представимо в виде:

.

Стандартная ошибка , т.е. стандартная ошибка прогнозного значения зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии.

Для доказательства этого рассмотрим дисперсии: .

- здесь учтено, что неслучайная (детерминированная) величина, при вынесении которой за знак дисперсии её необходимо возвести в квадрат,

Т.о. .

Определим стандартную ошибку через остаточную дисперсию на одну степень свободы:

или

Сравнивая фактические и табличные значения - статистики и принимаем или отвергаем гипотезу . Установим связь между F-критерием Фишера и - статистикой Стьюдента:

,

но , очевидно .

Следовательно: .

Т.о. проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Если < , но отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Если > , то не отклоняется и признается случайная природа формирования или .

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

,

тогда формула для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значения.

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

и строится доверительный интервал прогноза

.

Рассмотренные формулы стандартных ошибок предсказываемого среднего значения при заданном характеризует ошибку положения линии регрессии, при , и возрастает при удалении от .

Но фактические значения варьируют около среднего , индивидуальные значения могут отклоняться на величину , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы, поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения должна включать не только , но и случайную составляющую , или

.