Дисперсионный анализ для оценки факторов.

Источники вариаций	Число cтепеней свободы	Суммы квадратов отклонений	Дисперсии на одну степень свобод Д	.	.
общая		x	--	--	--
Факторная, в том числе за счет … за счет	…	x x … x	x x … x	x x … x	x x … x
остаточная		x	x	x	x

Средняя часть таблицы существенно меняется, в зависимости от того, какие гипотезы проверяются, так как во множественной регрессии источник вариации складывается из нескольких составляющих и каким образом проверяется действие включенных факторов, независимо, последовательно и в какой последовательности. Например: три переменных _{, ,} , то можно определить - критерий, частный, для уравнения с _, затем - критерий последовательного включения после и наконец_, - критерий, частный для уравнения с _{, ,} . Последовательный - критерий может интересовать лишь на стадии формирования модели. С критерием Стьюдента связан именно _част..

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по - критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных - критериев. В этом случае, аналогично парной регрессии:

= ,

β _i - коэффициент чистой регрессии при _;

- среднеквадратическая ошибка коэффициента регрессии β _i.

Для уравнения средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена так:

=

- средне квадратическое отклонение для y;

- средне квадратическое отклонение для _;

- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии;

- коэффициент детерминации для зависимости фактора со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии.

– число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

Если проверяется регрессия:

Для фактора определим

Для фактора определим частный - критерий

№	Источники вариации	Число степеней свобод	суммы квадратов	Дисперсия на одну степень свободы
1) 2) 3) 4)   5)	Общая Регрессия Обусловл. Обусловл. при данном Остаточная		( - )n (1-R2)	/ ./ -- --	-- одномерный --	-- x x x   --

Дорисовать горизонтали

где = _.-

3) сумма квадратов, обусловленная включением в модель лишь , определяется в предложении, что построено лишь парное уравнение регрессии то есть

4) сумма квадратов, обусловленная включением , после _, определяется как разность суммы квадратов за счет регрессии и за счет регрессии только фактора то есть строки 2) и 3) таблицы.

Системы эконометрических уравнений.

Объектом статистического изучения в экономике являются сложные системы. Системы уравнений в экономических исследованиях могут быть:

с истемы независимых уравнений:

;

; (1)

…

.

системы рекурсивных уравнений:

;

; (2)

…

Каждое уравнение системы (1) и системы (2) может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения параметров каждого уравнения, используется МНК.

Но наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные (в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую):

; (3)

…

.

Такая система называется системой совместных, одновременных уравнений или структурной формой модели.

Структурная форма модели содержит эндогенные переменные – . Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, и (которые определяются внутри системы). Экзогенные переменные – . Это независимые переменные, которые определяются вне системы и влияющие на эндогенные переменные, но независящие от них. Лаговые переменные – независимые переменные за предыдущие моменты времени. Лаговыми могут быть эндогенные переменные за предшествующий период времени, и тогда они являются экзогенными.

Предопределённые переменные – это экзогенные и лаговые. Структурные коэффициенты модели: и при переменных x и y. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, то есть под x подразумеваются ( - ), под – ( - ). Поэтому свободный член в каждом уравнении отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели:

;

; (4)

…

По своему виду приведённая форма модели идентична системе (1), поэтому параметры системы (4) оцениваются традиционным МНК. А затем оценить значение эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведённой формы модели (4) представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Пример простейшей структурной модели:

.

Приведенная форма получается так:

систему одновременных уравнений имеем

, _.

Отсюда ,

_,

Аналогично, получается второе уравнение приведённой формы: ,

,

При переходе от приведённой формы модели к структурной возникает проблема идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведённой и структурной формами модели. Рассмотрим это на примере:

. (5)

из второго уравнения следует: = .

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной переменной y ₁ c одним и тем же набором переменных, но с разными коэффициентами. Наличие двух вариантов для расчёта структурных коэффициентов одной и той же модели связано с неполной её идентификацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнений системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит параметров.

Приведённая форма модели – x параметров, но x < + x , случай =1 не рассматриваем. Следовательно, параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из x параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы, равны нулю. Тем самым уменьшится число коэффициентов структурной модели. Так, если предположить, что в нашей системе , и

то

(6)

тогда приведенная форма модели имеет вид:

;

.

и если в системе (5) при =3 было 8 коэффициентов (), а в приведенной только 6, то теперь в системе (6) 6 коэффициентов, и в приведённой 6, и тогда однозначность структурных коэффициентов обеспечена.

Уменьшение числа структурные коэффициентов модели возможно и другими путями, например, приравнивания некоторых коэффициентов друг другу, то есть путем предположений, что их взаимодействие на формируемую эндогенную переменную одинаково.

С позиции идентифицируемости, модели можно разделить на 3 вида:

1. идентифицируемые;

2. неидентифицируемые;

3. сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные её коэффициенты определяются однозначно по коэффициентам приведённой формы модели, то есть число параметров одной модели равно числу параметров другой.

Модель неидентифицируема, если число приведённых коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов. Структурная модель в полном виде – эндогенных и – экзогенных переменных, всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема, если число приведённых коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

В этом случае на основе коэффициентов приведённой формы можно получить более одного значения каждого структурного коэффициента. В этом частном случае системы (6), если ещё и , то система станет сверхидентифицируемой.

в ней 5 коэффициентов, а 6 коэффициентов приведённой формы.

Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически разрешима, но требует для этого специальных методов вычисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию.

Модель идентифицируема – если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение неидентифицируемо, то и все модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемым, необходимо, чтобы число – предопределённых переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу – эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Для полной системы имеем nxm параметров приведённой системы и параметров структурной модели, поэтому в общем случае параметры структурной модели не могут быть однозначно определёнными через параметры приведённой формы модели.

Для каждого уравнения системы имеем

– параметров приведённой формы,

– параметров структурной модели;

Обозначим

– число экзогенных переменных, которые присутствуют в уравнении,

– число экзогенных переменных, которые отсутствуют в данном уравнении,

;

Обозначим – число эндогенных переменных в уравнении, тогда очевидно, чтобы решить поставленную задачу определения параметров модели, необходимо потребовать, чтобы , в этом случае уравнение идентифицируемо; если , то уравнение неидентифицируемо; если , то уравнение сверхидентифицируемое.

Указанное условие отражает необходимое условие идентификации, но не достаточное. Достаточное условие формируется с помощью ограничений на матрицу коэффициентов системы. Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов при эндогенных и экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, объясняется это тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы: , а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентифицируемости.

Пример 1:

.

переменные для каждого уравнения выполняется счётное правило , поэтому они точно идентифицируемы.

Пример 2: в примере 1 положим = 0, = 0; тогда второе и третье уравнение становится сверхидентифицируемыми, а первое идентифицируемо.

Пример 3: в примере 1 добавим слагаемое , тогда первое и второе уравнения системы остаются идентифицируемыми, а третье уравнение – неидентифицируемо.

Для рассмотрения достаточного условия идентифицируемости представим систему экономических уравнений в матричном виде, введя следующие обозначения:

= , тогда = (*)

Рассмотрим -ое уравнение системы (*). Без ограничения общности можно считать, что первые коэффициентов при эндогенных переменных и первые коэффициентов при экзогенных переменных не равны нулю в этом уравнении, а остальные коэффициенты целые, тогда -ое уравнение можно записать в следующем виде:

Векторы и X разобьем на два подвектора,

=

Приведённая форма модели (*) имеет вид , обозначим , , тогда в соответствии с разбиением векторов и , матрица так же примет блочный вид:

Тогда наше уравнение в векторном виде примет вид:

По правилу перемножения блочных матриц

(**)

здесь -- блочные подматрицы матриц соответствующих размерностей.

Для нашего -го уравнения соотношения (**) имеют вид:

1) ; занумеровать

2) , занумеровать

здесь - нуль-вектор соответствующей размерности. Соотношение (2) является системой () уравнений с () неизвестным , так как один всегда равен 1. Эта система разрешима, если ранг системы равен (), это следует из обшей теории систем линейных уравнений.

Итак, для разрешимости системы (2) необходимо и достаточно, чтобы матрица имела ранг (). Это условие называется ранговым условием (rank condition), = .

Очевидно, если из системы (2) коэффициенты найдены, то коэффициенты определяются из предыдущего соотношения (1).

Возвращаясь к примеру 1, рассмотрим выполнение достаточных условий:

Для первого уравнения: из общего количества отсутствуют , тогда в матрице отделить палочками номера уравнений, как 2 уравнение

, значит =3, =2, хотя =2= -1=2;

уравнение неидентифицируемо, ранг должен был быть равен 2.

Для второго уравнения: отсутствуют _.

, в общем случае - уравнение идентифицируемо, ранг равен 2.

Для третьего уравнения: отсутствуют _.

, - уравнение идентифицируемо_.

В экономических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы, тождества участвуют.

Проблема сверхидентифицируемости – это проблема количества наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра стремятся к одному и тому же истинному значению.

Проблема неидентифицируемости – это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и означает, что существует бесконечное число структурных моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму.