Задача 1. Определить оптимальный объем выпуска предприятием и оптимальную цену единицы продукции, используя следующие критерии оптимальности:

Определить оптимальный объем выпуска предприятием и оптимальную цену единицы продукции, используя следующие критерии оптимальности:

- максимум абсолютной величины доходов;

- максимум абсолютной величины прибыли;

- максимум рентабельности.

Для каждого критерия оптимальности рассчитать следующие экономические показатели предприятия:

- оптимальный объем производства и продаж продукции;

- цену единицы продукции;

- доходы;

- расходы;

- прибыль;

- рентабельность.

Таблица 1

Исходные данные к задачам 1-4.

Методические указания.

Зависимость цены спроса от объема продаж имеет вид:

P = a – bQ, (1)

где a и b - параметры зависимости цены единицы продукции от объема производства (см. табл. 1);

Q - объем продаж продукции;

P - цена единицы продукции.

Зависимость расходов на производство продукции от объема производства имеет вид:

E = kQ + m, (2)

где k - себестоимость производства единицы продукции в части переменных расходов (см. табл. 1);

m - условно-постоянные расходы (см. табл. 1);

Q - объем производства продукции;

kQ - переменные расходы на производство продукции.

Оптимизация объема производства по критерию " максимум доходов".

При продаже продукции всем покупателям по единой цене доходы предприятия в зависимости от объема продаж определяются по формуле:

Д = P*Q = (a - bQ)Q (3)

Оптимальный объем производства по критерию " максимум доходов" определяется по условию равенства первой производной доходов по объему продаж нулю (предельные доходы равны нулю):

Д' = a - 2bQ = 0, (4)

откуда Q_опт. = a/2b

Цена единицы продукции определяется по формуле:

P_опт. = a – bQ_опт. (5)

Доходы рассчитываются по формуле:

Д_опт. = P_опт.*Q_опт. (6)

Расходы определяются по формуле:

E_опт. = kQ_опт. + m (7)

Прибыль предприятия определяется по формуле:

П_опт. = Д_опт. - Е_опт. (8)

Рентабельность производства продукции рассчитывается по формуле:

R _опт. = П _опт.*100%/E _опт. (9)

Оптимизация объема производства по критерию " максимум прибыли".

Прибыль предприятия определяется по формуле:

П = Д - Е =aQ - bQ² - kQ - m (10)

Оптимальный объем производства по критерию " максимум прибыли" определяется по условию равенства первой производной прибыли по объему продаж нулю (предельная прибыль равна нулю, предельные доходы равны предельным затратам на производство):

П' = a - k - 2bQ = 0, (11)

откуда Q_опт. = (a - k)/2b

Остальные показатели рассчитываются по формулам 5 - 9.

Оптимизация объема производства по критерию " максимум рентабельности".

Рентабельность при определении оптимального объема производства рассчитывается как отношение прибыли к расходам в долях единицы:

R = П / E = (Д - E) / E = Д / E - 1 (12)

Поскольку первая производная константы равна нулю, подставив в формулу (12) зависимость доходов от объема продаж и расходов от объема производства, получим зависимость рентабельности от объемов продаж и производства, используемую для определения оптимального объема производства по критерию " максимум рентабельности".

R = (aQ - bQ²) / (kQ + m) (13)

Оптимальный объем производства и продаж определяется по условию равенства первой производной рентабельности по объему производства нулю:

R' = (am - 2bmQ - bkQ²) / (kQ + m)² = 0, (14)

откуда оптимальный объем определяется как положительный корень квадратного уравнения:

am - 2bmQ - bkQ² = 0 (15)

Остальные показатели рассчитываются по формулам 5 - 9.