Модулер Корбюзье

После окончания 2-й мировой войны полмира лежало в развалинах, и перед архитекторами встала новая для них задача разработки методик, позволяющих очень быстро создавать проекты достаточно качественных домов, состоящих из деталей, поставляемых заводами, т.е. имеющих стандартные размеры. Ле Корбюзье поставил себе целью придумать шкалу длин, которая позволяла бы легко задавать необходимые стандартные размеры, лучше всего в целых числах. Он посчитал, что в качестве такой шкалы хорошо взять геометрическую прогрессию, множитель которой равен " золотому" числу j. Скорее всего на эту мысль его навела универсальность " золотых" пропорций. Кроме множителя, значение членов геометрической прогрессии определяется еще и ее начальным значением. Этот параметр Корбюзье хотел подобрать так, чтобы прогрессия хорошо описывала человеческое тело, которое является для архитектора главным мерилом, и к тому же имеет " золотые" пропорции. Прогрессия должна была состоять из целых чисел и при этом задавать размеры в современных единицах измерения. Решение этой задачи было найдено с помощью последовательности Фибоначчи. Рост человека, равный 6 английским футам, выраженный в дюймах (6 футов=72 дюймам), совпал с одним из чисел Фибоначчи, поделенным на 2: 72=144: 2 (английский фут равен 30, 48см, он состоит из 12 дюймов, дюйм равен 2, 54см, 6футов=183, 5см). Следовательно, последовательность 72; 44, 5; 27, 5; 17; 10, 5; 6, 5; 4; 2, 5; 1, 5; 1… задает выраженные в дюймах высоту человека (72), расстояние от пола до пупка (44, 5), от пупка до макушки и от колена до пупка (27, 5), от пупка до основания шеи и от пола до колена (17), от основания шеи до макушки(10, 5) и т.д. Эти параметры учитываются при разработке пропорций жилых помещений, мебели и т.д.

Кроме " золотой" пропорции j: 1=1: Ф»0, 618: 1»1: 1, 618, в архитектурных сооружениях широко применяются и другие пропорции, порождаемые диагональю полуквадрата. Их длины – рациональные выражения, в которые входит . Самые распространенные:

2j: 1=1: Ф/2»1, 236: 1»1: 0, 809 - двойное золото,

: 1»1, 118: 1 - " функция золота",

Ф²/2: 1»1, 309: 1, : 1»2, 236: 1, 1: ( +1)=1: 2Ф=j/2: 1»1: 3, 236»0, 309: 1 и т.д.

Сочетание рассмотренной нами шкалы и еще одной, парной ей, позволяет, не прибегая к вычислениям, описывать в целых числах все перечисленные пропорции. Значения второй шкалы строятся, начиная с высоты человека с поднятой вверх рукой - 226см. Это 89 дюймов, что также является числом из последовательности Фибоначчи. Таким образом, вторая шкала размеров в дюймах выглядит следующим образом: 89; 55; 34; 21; 13; 8; 5; 3; 2; 1; … Обе эти последовательности - рациональное приближение геометрической прогрессии с множителем j. Те, кто пользуется метрической шкалой, должны сделать пересчет значений из этих последовательностей, используя соотношение: 4дюйма»10см. Первую последовательность Корбюзье назвал красным рядом, вторую - голубым рядом.

Для получения " золотой" пропорции годятся два соседних члена любой из шкал:

Ф: 1»1, 618: 1 - 89: 55; 55: 34; 34: 21; 21: 13; 13: 8…, а также - 72: 44, 5; 44, 5: 27, 5; 27, 5: 17, ….

Чтобы получить отношение 2j: 1 надо использовать оба ряда, например:

2j: 1»1, 236: 1 - 89: 72; 55: 44, 5; 34: 27, 5; 21: 17.

Для получения отношения Ф²/2: 1»1, 309: 1 надо взять через один два члена последовательности (все равно красной или голубой) и больший поделить пополам, или член из красного ряда поделить на " соответствующий" член из голубого ряда, например:

Ф²/2: 1»1, 309: 1 - 17: 13; 44, 5: 34; 27, 5: 21; ….

Пропорцию " функция золота" 1, 118: 1 можно получить, используя линейную комбинацию 2-х соседних членов ряда Фибоначчи или разность соседних членов красного и голубого ряда: w_n=u_n+1-u_n/2, w_n: u_n» : 1»1, 118: 1, где u_n - член последовательности Фибоначчи с номером n. Например:

89-55/2=61, 5, 61, 5: 55» : 1»1, 118: 1.

Если выписать значения w_n=u_n+1-u_n/2 и v_n=2w_n=2u_n+1-u_n последовательно для n=1, 2, …, то получим 2 ряда. Последовательность {v_n} – это так называемый ряд Люка. Последовательность {w_n} – его “красная” пара. Последовательность Люка строится так же, как последовательность Фибоначчи - значение n-ого члена последовательности вычисляется по формуле v_n=v_n-1+v_n-2. Но начальными для нее являются не 1 и 1, как это имеет место для последовательности Фибоначчи (можно считать, что последовательность Фибоначчи начинается с этих 2-х чисел), а числа 1 и 3. Ряд Люка выглядит следующим образом: 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123…. Покажем, что {v_n} – ряд Люка.

Действительно,

v₁=2u₂-u₁=2× 1-1=1, v₂=2u₃-u₂=2× 2-1=3

v_n=2u₊₁-u_n=2(u_n+u_n-1)-(u_n-1+u_n-2)=2u_n-u_n-1+2u_n-1-u_n-2=v_n-1+v_n-2

Отношение 2-х смежных членов z_n/z_n-1 любой последовательности {z_n}, для которой выполняется: z_n=z_n-1+z_n-2, с увеличением их номера в последовательности стремится к числу Ф. Таким образом, для получения рационального приближения для Ф можно использовать и соседние члены ряда Люка. Кроме того, . Т.е. пара ряд Фибоначчи и ряд Люка дает решение в ближайших целых числах для произведения чисел Фибоначчи на . А члены ряда Люка, поделенные на 2, помогают организовать “умножение” членов золотого ряда Фибоначчи на .

Действительно:

С помощью “красного” и “голубого” рядов Фибоначчи и Люка (Ф/2, Ф, Л/2, Л) можно построить " таблицу умножения " для произведений чисел Фибоначчи и Люка на множители, значение которых связано с .

Она, в свою очередь, позволяет составить “ таблицу рациональных отношений”, являющихся рациональными приближениями для " золотой" пропорции и ее производных.

Таблица умножения

Значение для производной Бурова 507: 493»1.028 можно получить следующим способом. Такая пропорция получается, если выполнить деление отрезка в золотом отношении 3 раза. Выпишем получающиеся соотношения для отрезка длины 144 (для меньших длин точность не очень хорошая).

144=89+55=55+34+55 (первое деление),

34=21+13=13+8+13 (второе деление), 144=55+13+8+13+55,

8=5+3 (третье деление), 144=55+13+5+3+13+55,

73=55+13+5, 71=3+13+55.

Аналогично пропорция 118: 115 получается тройным делением в золотом отношении отрезка длины 233.

Таблица рациональных отношений

» 2.236: 1 »1: 0.447	7: 3	11: 5	9: 4	29: 13	47: 21	38: 17	123: 55	199: 89	322: 144
1.809: 1»1: 0.553	9: 5	14.5: 8	23.5: 13	38: 21	61.5: 34	199: 110	161: 89	260.5: 144	421.5: 233
Ф: 1»1.618: 1» 1: 0.618	8: 5 7: 4	13: 8 11: 7	21: 13 18: 11	34: 21 29: 18	55: 34 47: 29	89: 55 76: 47	144: 89 123: 76	233: 144 199: 123	377: 233 322: 199
1.447: 1»1: 0.691	10: 7	16: 11	13: 9	42: 29	68: 47	55: 38	178: 123	288: 199	233: 161
1.382: 1»1: 0.724	7: 5	11: 8	18: 13	29: 21	47: 34	76: 55	123: 89	199: 144	322: 233
1.309: 1»1: 0.764	21: 16	17: 13	55: 42	89: 68	72: 55	116.5: 89	377: 288	493.5: 377
2j: 1» 1.236: 1» »1: 0.809	10: 8	16: 13	26: 21	21: 17	68: 55	110: 89	89: 72	144: 116.5	233: 188.5
1.12: 1» 1: 0.894» »528: 472	7: 6	11: 10	9: 8	29: 26	47: 42	19: 17	123: 110	99.5: 89	161: 144
1.028: 1»1: 0.973»507: 493							45: 44	73: 71, 36: 35	118: 115
j/2: 1» 0.309: 1» »1: 3.236	4: 13	13: 42	21: 68	17: 55	55: 178	89: 288	72: 233	116.5: 377
0.236: 1»1: 4.236			3: 13	5: 21	8: 34	13: 55	21: 89	17: 72	55: 233

Таблицу (мы приводим далеко не все ее строки) можно использовать для построения отрезков, длины которых находятся в нужном пропорциональном отношении. Эти отрезки можно располагать на одной прямой (деление отрезка в заданной пропорции) или строить из них прямоугольники и треугольники (рис. 1). При составлении этой таблицы мы провели рассуждения на современном уровне, хотя построить такую таблицу можно с помощью самых простых рассуждений.

Обмеры архитектурных сооружений демонстрируют, что многие пропорциональные отношения, которые можно найти в размерах сооружений, имеются в этой таблице.