Золотая» прогрессия. «Золотые» модулеры

В силу подобия бесконечная последовательность пятиконечных звезд порождает бесконечную последовательность отрезков, длины которых образуют геометрическую прогрессию с множителем Ф. Продолжение процесса внутрь, соответственно, порождает бесконечную геометрическую прогрессию с множителем . Выпишем эту прогрессию в виде:

…jⁿ, …, j³, j², j, 1, Ф, Ф², Ф³, …, Фⁿ, …

и в числовой форме:

…0, 090; 0, 146; 0, 236; 0, 382; 0, 618; 1; 1, 618; 2, 618; 4, 236; 6, 854; …

Мы получили бесконечную последовательность, в которой каждый член больше предыдущего в Ф раз. В силу соотношения Ф²=1+Ф эта последовательность обладает следующим свойством: каждый ее член равен сумме 2-х предшествующих ему членов - если мы, начиная с любого места, перенумеруем члены последовательности и присвоим им обозначения u_n, то u_n=u_n-1+u_n-2.

Действительно, u_n-1=u_n-2Ф и Ф²=1+Ф, следовательно:

u_n-1+u_n-2=u_n-2Ф+u_n-2=u_n-2(1+Ф)=u_n-2Ф²=u_n.

Свойство u_n=u_n-1+u_n-2 позволяет, не прибегая к вычислениям, строить все члены этой последовательности, если известны значения только 2-х любых соседних членов. Например, мы знаем значения u₁=1 и u₂=Ф. Значения следующих членов: u₃=Ф²=1+Ф, u₄=Ф³=u₂+u₃=Ф+Ф², …

Построим шкалу, основанную на " золотой" пропорции, выбрав в качестве единичного некоторый, вообще говоря произвольный, отрезок. Для этого проведем горизонтальную прямую и отметим на ней точки А_1, А₂, А₃, …, расстояния между которыми равны 1, Ф, Ф², … Для того, чтобы построить отрезок длины Ф² достаточно сложить отрезки длины 1 и Ф. Для того, чтобы построить следующий отрезок, надо сложить отрезки Ф и Ф² и т.д.

А₁А₂: А₂А₃:..=В₁В₂: В₂В₃:..=С₁С₂: С₂С₃:..=М₁М₂: М₂М₃: М₃М₄…

Эту шкалу можно настроить на любую единицу измерения. Для этого надо через точки, отмечающие деления шкалы, провести пучок прямых с центром V (рис. 11а). Эти прямые, пересекая горизонтали, порождают новые шкалы. Эти шкалы в силу теоремы о подобных треугольниках будут также основаны на " золотой" пропорции, но с единичным отрезком другой длины.

Подобрав горизонталь так, чтобы М₁М₂ был равен отрезку, который мы хотим иметь в качестве единичного, и проведя через его конец горизонтальную прямую, получим " золотую" шкалу с выбранным нами единичным отрезком (рис. 11).

Задача, которую помогает решить построенный нами универсальный " золотой" модулер. Задан отрезок, разделенный в некотором отношении. Является ли это отношение " золотым"? Решение. Найдем уровень, на котором левый конец заданного отрезка касается вертикали, а правый касается прямой VA₃. На рисунке 11 отрезок в этом положении выделен более жирным окрасом. Если точка N₂ попадает на прямую VA₂, то деление – в " золотом" отношении. На нашем рисунке показано, что отношение очень близко к " золотому".

Справа на рисунке 11 изображен золотой модулер, содержащий последовательность отрезков, длины которых образуют геометрическую прогрессию с множителем j=0, 618. В качестве упражнения проставьте выражения для этих длин на рисунке.

Стороны пятиугольника и десятиугольника, вписанные в одну и ту же окружность радиуса R, связаны соотношением: а₅²=R²+a₁₀². То есть сторона пятиугольника равна гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого равны R и Rj, и (R≈ 0, 85a₅). Тем самым, она равна диагонали " золотого" прямоугольника, у которого большая сторона равна радиусу окружности, в которую вписан пятиугольник.

Это позволяет с помощью теоремы о подобных треугольниках по заданной стороне пятиугольника получить радиус описанной окружности. Для этого достаточно построить любой «золотой» прямоугольник, на прямой, соединяющей его вершины, расположенные на диагонали, отложить требуемую длину стороны пятиугольника и опустить перпендикуляр на горизонталь (рис. 12а). Полученный горизонтальный отрезок - радиус окружности, с помощью которой надо строить пятиугольник. А можно просто построить любой правильный пятиугольник и увеличить его до нужного размера с помощью гомотетии (рис. 12б).

Аналогично можно, применив принцип подобия, использовать в качестве " золотого" модулера половину " золотого" прямоугольника - прямоугольный треугольник со сторонами 1 и Ф. Если отложить по горизонтали некоторый отрезок, то вертикаль, восставленная из конца отрезка до пересечения с гипотенузой будет иметь длину в Ф раз меньшую. А можно по длине вертикали найти длину горизонтали в Ф раз большую (рис. 12в).

Архитекторы с давних времен для получения отрезков, находящихся в заданном пропорциональном соотношении, пользуются пропорциональным циркулем. Он состоит из двух равных по длине ножек, скрепленных винтом (рис. 12г). Если винт разбивает ножки в отношении a: b, то в таком же отношении будут находиться измеряемые им отрезки c и d: .

При раскопках найдено по крайней мере четыре пропорциональных циркуля, - Помпейский пропорциональный циркуль с соотношением 90: 56»1.607, 2 пропорциональных циркуля с соотношением 2: 1, пропорциональный циркуль из Музея Терм в Риме с соотношением 94: 52»1.807 (как : ( -1)). Мерные жезлы зодчего Хесира, изображенные на деревянной панели в его гробнице (Египет,»2800лет до н. э.), связаны по длине тем же соотношением, что и сторона и диагональ двойного квадрата (как : 1). Эти находки указывают на использование древними архитекторами пропорций, порождаемых .

Производные «золота»

Самое простое разбиение отрезка на две части - это деление отрезка точно пополам. Некоторое смещение от центра отрезка точки деления отрезка на две части улучшает зрительное впечатление. Эта цель достигается с помощью деления в " золотой" пропорции. Обмеры показали, что для того, чтобы смягчить слишком резкое отклонение золотого сечения от точного деления пополам, мастера применяли золотое сечение повторно, что приводило к делению отрезка в пропорции , которую с точностью до 3-х знаков можно описать рациональным соотношением 528: 472»1, 118. Это отношение называют производной золотого сечения (рис.13).

Если еще раз выполнить золотое сечение отрезка, получится деление отрезка в пропорции 507: 493»1, 028. Следующее сечение, дающее деление отрезка в пропорции 501: 499»1, 004, практически неотличимо от точного деления отрезка пополам (все эти значения выражаются через рациональные функции, зависящие от ).

Если архитектор выбирает для себя некоторый способ гармонизации, то ему нужен циркуль, настроенный на выбранную пропорцию.

Циркуль без изменения раствора позволяет построить 3 отрезка (рис: 14). Три отрезка, построенных циркулем, настроенным на " золотую" пропорцию, обеспечивают одинаковое пропорциональное деление целого и части.

Очень интересными свойствами обладает прямоугольный треугольник, у которого " золотым" является отношение гипотенузы к меньшему катету (рис. 15а). Если а - длина меньшего катета, то согласно теореме Пифагора и соотношению Ф²=1+Ф, его второй катет равен . То есть длины его сторон образуют геометрическую прогрессию 1, q, q² с множителем q= . Для примера на рисунках 15б, в продемонстрированы фигуры, которые можно построить с помощью треугольников такого вида ( -треугольник) - -ромб и логарифмическую спираль.

Пропорции -ромба (рис. 15б) встречаются в природе - этот ромб просматривается в форме черепа, в форме морских раковин [Шевелев].

Спираль из дуг, построенная вокруг улитки -треугольников суть логарифмическая спираль. Увеличению угла на p/2 соответствует увеличение радиуса-вектора этой спирали в раз (рис. 15в). Для выполнения этого чертежа можно воспользоваться тем, что больший катет треугольника становится меньшим катетом следующего треугольника, а гипотенуза предыдущего треугольника – большим катетом следующего. С поворотом на угол p длина радиуса-вектора возрастает в Ф раз. Центр спирали О делит любой диаметр (АС, ВС) в " золотой" пропорции, и точка В делит ОА в " золотом" отношении (в главе 7 мы напишем уравнение этой спирали и докажем это). Такую форму имеет морская раковина Nautilus - живое доказательство того, что золотое сечение определяет природные ритмы развития.

«Троица» Рублева и золотые пропорции

Ниже, мы еще раз встретимся с треугольником - он лежит в основе пропорций пирамиды Хеопса.