Последовательность Фибоначчи и золотое сечение

В силу того, что Ф= не является рациональным числом, его нельзя представить в виде отношения p/q двух целых чисел p и q и мы его представим в виде непрерывной дроби Ф= .

Докажем правильность такого представления. Обозначим эту дробь через х. Тогда для х выполняется соотношение . Умножив обе части равенства на х, получаемзнакомое нам соотношение х²=х+ 1, Которое выполняется только для х= . Обрывая вычисление значения непрерывной дроби перед первым, вторым, третьим и т.д. знаком плюс, получаем последовательность простых дробей: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, …. Обозначим через n порядковый номер дроби в последовательности. По мере роста n дроби задают все более точные приближения золотого числа 1, 618…. То есть построенные на клетчатой бумаге прямоугольники со сторонами 8 и 5, 13 и 8, 21 и 13, по мере роста n все более точно передают пропорции золотого прямоугольника. Как числители, так и знаменатели дробей образуют последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,..., называемых числами Фибоначчи. Каждое из чисел в этой последовательности, начиная с третьего, получается сложением двух предыдущих чисел: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, … Обозначим члены последовательности следующим образом: u₁, u₂, u₃, …, u_n, …. Тогда u₁=1, u₂=1, а для n> 2 верна формула u_n=u_n-1+u_n-2. Эта последовательность в том числе является решением задачи " о кроликах", сформулированной Леонардо Пизанским (Фибоначчи - 1180-1240 г.г.). Этот итальянский математик, начальное образование получил в Алжире, где его наставниками были арабы, от которых он узнал о существовании индийской (" арабской") десятичной системы с ее позиционными обозначениями и нулем (в то время была распространена гораздо менее удобная римская система, в которой, в частности, нуль отсутствовал). По его книге, работу над которой он закончил в 1202 г., европейцы ознакомились с индийской десятичной системой. Задача, которую он изложил в своем труде, следующая. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство эти кролики дают со второго месяца своего рождения. Тогда количество пар кроликов в конце каждого из месяцев образует последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, u_n, …, а n-ый член последовательности вычисляется по формуле u_n=u_n-1+u_n-2. В XIX веке в честь математика, в трудах которого эта последовательность впервые была описана, она была названа именем Фибоначчи. Подобному закону, наверное, подчиняются многие процессы роста и образования новых форм в природе - появление на стволе новых отростков, слоев семечек в подсолнухе и т.д. Головка подсолнуха как бы соткана из логарифмических спиралей, образующих два семейства: к одному относятся спирали, закручивающиеся по часовой стрелке, к другому – против часовой стрелки. Число спиралей в семействах различно и приближенно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи (наверное, закон появления слоя семечек сходен с законом размножения кроликов). У подсолнуха средних размеров корзинка обычно содержит 34 спирали одного и 55 другого типа. В корзинке одного гигантского подсолнуха насчитали 144 правых и 233 левых спирали.