Средние значения двух величин

Средним арифметическим двух величин a и b называется значение:

Средним геометрическим (средним пропорциональным) двух положительных величин a и b называется величина . Величины a, x и b образуют геометрическую прогрессию, у которой b₁=a, . На рисунке 7а показано, как по величинам а и b (отрезки АВ и ВС) построить величину х. Заметим, что если а =1, b=N, то х=

Золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении)

Деление отрезка длины а на две части х и а-х называется делением в среднем и крайнем отношении, или золотым сечением, если х является средним геометрическим между а и а-х. На рисунке 7б показано, как с помощью циркуля и линейки по величине а построить х.

Для " золотого" разбиения отрезка длины а на части длины х и а-х выполняется соотношение , которое можно записать в виде квадратного уравнения:

х²=а²-ах

Из уравнения видно, что х и а связаны пропорциональным соотношением, т.е. искать надо отношение х и а или а к х.

Введем обозначение , поделим обе части равенства на а² и получим уравнение:

k²=1-k или k²+k-1=0.

Решим это уравнение.

Напомним формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0, →

x²+px+q=0, →

Корни являются действительными числами, только если подкоренное выражение (дискриминант уравнения) в указанных формулах неотрицательно.

Согласно приведенной формуле решения квадратного уравнения:

Из этих 2-х корней нам подходит только один - положительный. Т. е.:

На рис. 7б: АС= а, АB= , AD= x =AB-BD=

Если ввести обозначение и поделить обе части равенства на х², то получим уравнение:

1= K²-K или K²-K -1=0.

Из 2-х корней только один положительный. Таким образом:

Введем традиционные обозначения: . Такое обозначение связано с именем Фидия (на букву F начинается его имя). Фидий принимал участие в создании Парфенона, в частности украсил Парфенон своими великолепными скульптурами, и фигуры его скульптур имеют золотые пропорции.

Ботичелли, «Рождение Венеры», Поликлет, статуя «Дорифор»

золотые пропорции Венеры

Заметим, что F и j в силу определения связаны соотношением , или jF =1, (это легко проверить: ). Для этих значений выполняется:

Ф²-Ф-1=0, или Ф²=1+Ф, аналогично, φ ²+φ -1=0, или j²=1-j

Прямоугольник, отношение сторон которого выражается пропорцией Ф: 1=1: j называется " золотым". На рис.7б показано, как по большой стороне “золотого” прямоугольника, найти его малую сторону. На рис. 7в – как по его малой стороне найти большую - EF= , BF=BE+EF=

Стороны такого прямоугольника несоизмеримы в силу иррациональности числа . На клетчатой бумаге величину без циркуля можно построить только приближенно (мы это уже обсуждали при рассмотрении числа ).