Решетки

Перенос, отражение, поворот лежат в основе симметричных узоров решеток и витражей. Самые простые виды решеток – прямоугольная (рис. 13а) и ромбическая (рис. 13б). На рисунке 13в представлен эскиз решетки из полуокружностей, в котором используется перенос. Дуги окружностей можно спрямить. Из тех же дуг полуокружностей, если применить отражение, получается совсем другая решетка (рис. 13г). Вписав внутрь кванта еще две полуокружности, получаем еще один узор (рис. 13д). Такие узоры могут использоваться и для витражей. Дуги можно спрямить или равномерно сжать, придать им более изящную форму, внутрь кванта поместить узор и т. д.

Очень распространена решетка, изображенная на рисунке 14а. Она строится из дуг размера 120° плотно уложенных окружностей. Наиболее плотная укладка кругов на плоскости – термин, введенный для описания схемы укладки кругов, при котором достигается наиболее полное заполнение плоскости кругами (в одной из следующих глав мы научимся вычислять величину максимального коэффициента заполнения плоскости кругами).

Так как в природе обычно реализуются оптимальные схемы, требующие наименьших затрат материала и энергии, примеры наиболее плотной укладки встречаются и в природе. Если свалить в кучу пушечные ядра или круглые бусинки, то они естественным образом примут вид конуса. На плоскости аналог " естественной" укладки кругов можно получить следующим образом. Возьмем идеальные бревна, имеющие одинаковое сечение в виде круга. Свалим их в кучу следующим образом. Положим первый ряд из бревен - вплотную друг к другу, следующий ряд положим в пазы, образованные нижним рядом и т.д. Вид кладки со стороны торцов бревен даст картинку наиболее плотной укладки кругов на плоскости (рис. 14б).

Наиболее плотная укладка кругов на плоскости строится на основе треугольной решетки. Вокруг вершин треугольной решетки радиусом, равным половине ребра решетки (стороны треугольника) описываются круги (рис. 14в). Дуги касающихся друг друга уложенных плотно окружностей сопрягаются друг с другом без излома. На рисунке 14г показано, как из дуг плотно уложенных окружностей строится решетка. При вершинах основания треугольников радиусом, равным половине основания, проводятся дуги длины 60°.

Целиком замостить плоскость кругами, естественно, нельзя. Если провести касательные к каждому кругу в точках, где он соприкасается с шестью окружающими его кругами, то эти касательные образуют правильный шестиугольник, описанный около круга (рис. 14д). Если заменить каждый круг на окаймляющий его шестиугольник, то получатся пчелиные соты - правильная конфигурация из шестиугольников, заполняющая всю плоскость. На рисунке видно, что для того, чтобы построить пчелиные соты, не надо строить плотно уложенные окружности. Достаточно построить сетку из равносторонних треугольников и объединить по 6 треугольников в шестиугольник. Если мы хотим, чтобы у шестиугольника две стороны были не горизонтальные, а вертикальные, то основания треугольников надо располагать не на горизонтальной прямой, а на вертикальной (рис.14е)

Все приведенные решетки обладают тем свойством, что строятся на основе одного кванта, которым целиком заполняют плоскость. Предположим, что мы хотим, чтобы взятый нами за основу квант имел форму креста – такие решетки часто создаются для церковных окон, дверей и ворот. На рисунках 15а, б приведены два простейших макета решеток из крестов. Первая из них - кресты + фон, кресты второго макета заполняют плоскость без фона.

Если кресты первого макета расположить так, как расположены кресты второго макета, незаполненный фон все равно будет присутствовать (рис. 15в).

Для того, чтобы убрать промежуток между крестами, надо увеличить ширину креста. Длина горизонтальной ветви креста должна быть ровно вдвое меньше ширины вертикальной ветви (рис. 15г).

Квант такой решетки строится на основе ромба. Он имеет две оси симметрии (горизонтальную и вертикальную) и инвариантен относительно поворота на 180°. Кроме того, его нижняя левая сторона при переносе вправо-вверх должна совпасть с правой верхней. В силу того, что левая нижняя сторона совпадает с правой верхней и после поворота на 180°, сторона ромба должна быть симметричной относительно своего центра (на рисунках 15б, г центр симметрии стороны отмечен жирной точкой). Таким образом, для того, чтобы построить решетку из крестов, в которой квант фона равен основному кванту, надо начертить основу – ромбическую решетку, искривить половину ребра ромба, отразить эту линию по правилам центральной симметрии относительно середины ребра и построить остальные ребра кванта с помощью отражения от диагоналей ромба. На рисунках 15г, д приведены макеты распространенных решеток, построенных по этому принципу.

Крайне важно понимать законы симметрии при построении мозаик. Мозаикой заполняют плоскость – пол, стену, дверь, ковер и т.д. Контуры мозаик могут использоваться для изготовления плетеных сетей (например, в виде пчелиных сот) или в узорчатых решетках.

Симметричные мозаики (паркеты)

Самая главная составная часть узора мозаики – это сеть. На клетки сети накладывается с ритмичным повтореним мотив узора, причем сама сеть в мозаике может остаться в составе узора или же ее после наложения мотива удаляют. Узор мозаики образуется из клеток схемы, сплошь заполняющих весь фон.

Самые простые клетки, которые приходят в голову и самым неискушенным творцам, - знакомые всем паркеты из квадратных или прямоугольных плиток или полы в ванной, выложенные шестигранниками. Для улучшения впечатления внутри плиток располагают симметричный узор. За несколько тысячелетий существования человечества было создано бесчисленное количество мозаик. По названию формы клетки, по которой строится мозаика, их называют: параллелограммная, прямоугольная, ромбическая, треугольная, квадратная, шестиугольная мозаика («пчелиные соты») (рис. 16).

Желание создать что-то необычное, присущее людям искусства, заставляло искать способы построения мозаик на основе и других симметричных фигур, например, широко используемых в розетках правильных пятиугольников, восьмиугольников и т.д. Но никогда никому ни одной мозаики, в основе которой лежит правильный пятиугольник или правильный многоугольник, число сторон у которого больше 6, создать не удалось. Это является следствием главного отличия мозаики от розетки. Клетки мозаики должны заполнять пространство целиком. И оказалось, что необходимость целиком покрывать поверхность накладывает ограничения на кванты мозаики. Можно сказать, что творцы мозаик доказали практически, что такие мозаики, в основе которых лежит правильный многоугольник, число сторон у которого 5 или больше 6, невозможны. Только в ХХ веке математиками это было доказано теоретически. Было создано полное описание возможных схем мозаик на плоскости. С формальной точки зрения существует 17 различных типов мозаичных схем на плоскости. Из них 12 включают отражения, 5 – повороты и переносы [Гинзбург]. К чести создателей мозаик оказалось, что они не пропустили ничего. При создании мозаики сначала определяется вид сети, по которой будет строиться мозаика, и строится соответствующая решетка.

Не вызывает затруднений построение квадратной, ромбической, параллелограммной, треугольной решетки. В шестиугольной мозаике квантом служит правильный шестиугольник. Сплошная сетка из шестиугольников (пчелиные соты)встречается в природе. Для этого имеются веские основания - сеть, имеющая такую структуру, имеет минимум длины. Решетка из шестиугольников строится на основе решетки из треугольников. (рис. 14).

Сеть состоит из квантов. При переходе от одного кванта к другому и построении узора внутри кванта могут применяться переносы, отражения и вращения (набор возможных углов поворота зависит от формы кванта). В параллелограммной мозаике используется перенос и перенос+поворот; в прямоугольной используются только отражение и перенос + отражение. В ромбической комбинируется и отражение, и поворот и перенос (целых 5 комбинаций; диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам – это дает дополнительные возможности); в треугольной – отражение и вращение (вокруг центра на 120°); в квадратной – отражение, вращение и отражение+вращение. Симметричная форма " пчелиных сот" предоставляет массу возможностей для создания симметричных орнаментов. На основе центров шестиугольников, центров входящих в них треугольников и всех осей симметрии создано множество узоров для покрытий полов и стен, ковров, дверей и т.д. Для того, чтобы в шестиугольной сетке построить все оси симметрии, надо дополнительно соединить прямыми центры всех соприкасающихся шестиугольников.

На рисунке 17а приведена схема возможных движений для шестиугольной мозаики. Центр шестиугольника, все его вершины можно использовать для поворотов на 60°, 120° и 180°. Центры всех равносторонних треугольников (отмечены '*') – для поворотов на 120°. Прямые, соединяющие между собой центр и середину ребра, можно использовать в качестве линий отражения внутри шестиугольника, 6 ребер можно использовать в качестве линий отражения для распространения рисунка за пределы кванта, для получения следующего кванта (две стрелки вдоль линии, смотрящие в разные стороны). Для получения следующего кванта можно использовать перенос центра в вершину шестиугольника, поворот на 180° луча, соединяющего вершину с центром, и совместить его с отражением. Исходя из этих движений, можно, например, составить симметричную раскраску фрагментов. На рис. 17б - самый общий шаблон для возможных вариантов симметричной раскраски шестиугольной мозаики. Раскрасьте шестиугольную мозаику в 3 цвета, используйте для этого линии отражения и хорошо видные на чертеже центры поворота на 60° (центр шестиугольника), на 120° (центр треугольника), на 180° (вершины вписанного шестиугольника). Вписанные шестиугольники порождают покрытие, состоящие из 2-х правильных многоугольников – шестиугольника и равностороннего треугольника (рис. 17в).

Прямые линии в кванте можно заменить на кривые. При этом надо следить, чтобы кривой кусок границы переходил в симметричный ему кусок с помощью разрешенного для данной решетки движения. На рисунках 18а, б приведены совсем простые примеры искривления ребер для прямоугольной решетки с помощью дуг окружности. На рисунке 18в в шестиугольнике выделено 6 одинаковых квантов, искривление ребер этих квантов производится также с помощью дуги окружности, для которой ребро является хордой. Длинные стороны четырехугольника переходят друг в друга с помощью поворота на 60°, короткие – с помощью поворота на 120°. Вокруг точки пересечения короткого и длинного ребра поворот на 180°. Полученные лепестки раскрашены в 3 цвета.

Если фигура F с помощью движения переводится в фигуру F₁, то говорят, что они равны. Таким образом, мозаика имеет дело с равными фигурами, заполняющими плоскость без наложения друг на друга. У фигур, построенных на основе принципов симметрии, даже с искривленными границами, легко вычисляется площадь. У искривленного квадрата площадь равна площади самого квадрата (фигуру, которую вырезали с одной стороны, приклеили к нему с другой стороны). При построении рыбки мы пользовались именно этим принципом. Лепесток цветка в шестиугольной мозаике можно разрезать на 2 части. Ушестеренная первая часть заполняет без наложений шестиугольник, утроенная вторая часть – треугольник. Следовательно, площадь лепестка составляет 1+1/3=4/3 площади треугольника (шестиугольник состоит из 6 таких треугольников). Правило сохранения величины площади после искривления границы кванта можно использовать для проверки – не нарушили ли вы при искривлении правила возможных движений решетки.

Замечательные мозаики, кванты для которых имеют вид рыб, птиц и животных созданы голландским художником-графиком Эшером. По тому же принципу, по которому мы построили мозаику из цветка, состоящего из 6-ти лепестков 3-х разных цветов, он построил мозаику из " цветков", у которых в качестве " лепестка" взята ящерица.

Орнамент Ящерицы. М. Эшер.

В качестве ячейки сетки, по которой строится мозаика, могут выступать фигуры не обязательно " правильной" формы. Попробуйте построить мозаику из треугольников и четырехугольников (например, трапеций) произвольного вида.

Разумеется, можно строить сплошной симметричный узор не только из одной, а и из нескольких фигур. Художественные паркеты строятся, как правило, из 2-х и более элементов. На рисунке 19 приведены примеры самых простых паркетов из петербургских дворцов.

Эшер создал великолепные примеры " упорядоченного членения плоскости" с помощью 2-х фигур (всадник и лошадь, птица и рыба) и даже с помощью восьми фигур.

Детальные схемы и примеры к ним для симметричных розеток, бордюров, мозаик и плетений можно найти, например, в книге Гинзбурга «Симметрия на плоскости».