Построениеспирали Архимеда

Спираль Архимеда - это кривая, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью v по лучу, который вращается около полюса О с постоянной угловой скоростью w.

Геометрически спираль Архимеда можно описать так: расстояние r от точки М до полюса О (r=ОМ) пропорционально углу поворота j луча ОМ (рис 6).

Повороту луча ОМ из любого его положения на одно и то же значение Dj соответствует одно и то же приращение длины радиуса-вектора r=ОМ на Dr. Полному обороту луча на 2p соответствует одно и то же смещение вдоль луча на величину а. Отрезок а называется шагом архимедовой спирали (рис. 6б). Если вращать луч ОМ против часовой стрелки, получается правая спираль, если по часовой стрелке, то левая.

Построим опорные точки для графика спирали Архимеда. Проведем окружность радиуса а, разделим ее на n частей, соединим концы дуг с центром окружности О. Разделим радиус окружности на n равных частей. Пусть длина одной части равна D. Первой опорной точкой будет центр окружности О. Если повернуть горизонтальный радиус на угол, равный j=2p/n, то расстояние от точки спирали до точки О станет равным D. Таким образом, чтобы получить вторую опорную точку, надо на радиусе, имеющим угол поворота 2p/n, отложить отрезок длины D. Чтобы получить третью точку, надо на радиусе, соответствующем углу поворота j=2× 2p/n, отложить отрезок длины 2D, на следующем за ним радиусе отложить 3D и т.д. Т.е. последовательность расстояний от 1-ой, 2-ой, 3-ьей и т.д. опорной точки до начала координат суть арифметическая прогрессия. Через n шагов мы придем в точку, лежащую на луче, с которого мы начинали процесс, отстоящую от центра на расстояние nD= a. Далее процесс продолжается по этой же схеме - c каждым поворотом луча ОМ на угол 2p/n будем увеличивать расстояние точки от центра О на величину D. Эта схема соответствует тому, что r=ОМ пропорционально углу поворота j, при этом на каждом луче расстояние между точками разных витков спирали постоянно и равно а - шагу спирали. На рисунке 6 построены опорные точки для 2-х спиралей - левая строилась делением окружности и начального радиуса на 6 частей, спираль на правом графике имеет шаг спирали в полтора раза меньше, количество опорных точек не 6, а 8. Взятые нами значения n=6 (на левом чертеже) и n=8 (на правом) дают очень небольшое количество опорных точек графика.Мы лишь продемонстрировали принцип построения.

Этот же принцип применяется, когда надо построить кусок спирали.

Если мы хотим построить n опорных точек для куска спирали Архимеда, для которого угол меняется лишь на величину a (например, p), а длина радиуса-вектора на величину а, надо провести дугу окружности, центральный угол которой равен a (для a=p - полуокружность), поделить начальный отрезок длины а на n равных частей и дугу окружности на n равных дуг и построить опорные точки, как показано на рисунках 7а, б, в.

Меандр

Узоры из дуг спиралей очень красивы. Такая розетка украшает, например, купол Павильона Катальной Горки в Ораниенбауме. В Оружейной плате Московского Кремля хранится щит Мстиславского, украшенный красивым узором из спиралей. Орнамент из дуг часто используется для украшения сервизов, блюд и т.д.

Щит Ф.И. Мстиславского (XVIв., персидский мастер)

Купол павильона Катальная горка (XVIII в., Ораниенбаум)