Движения на плоскости – перенос, поворот на угол a, симметрии

Преобразование фигуры F в фигуру F₁ называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Движениями являются поворот, параллельный перенос и преобразования симметрии – отражение относительно точки и отражение от прямой.

Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние (рис. 9а).

Поворотом около точки О на угол a называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки О, поворачивается на угол a в одном и том же направлении (рис. 9б).

Две точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка А₁А₂. Точка О называется центром симметрии точек А₁ и А₂ (рис. 9в).

Пусть F – данная фигура и О – некоторая точка плоскости. Через каждую точку М фигуры и точку О проведем прямую, продолжим ее за точку О на расстояние ОМ, конец отрезка М₁ – точка, симметричная точке М относительно О. Тем самым мы построили для фигуры F ее симметричное отражение F₁ относительно точки О (рис. 9г).

Это преобразование фигуры называется симметрией относительно точки. Если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит фигуре, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О – ее центр симметрии. Симметрия относительно центра симметрии центрально-симметричной фигуры переводит фигуру в себя. Окружность – симметрична относительно своего центра. Параллелограмм – относительно центра пересечения диагоналей (рис. 9д), прямая – относительно любой своей точки. Треугольник не имеет ни одного центра симметрии.

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой р, если эта прямая перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

Пусть F - данная фигура и р – некоторая прямая. Для каждой точки М фигуры построим точку М₁, симметричную точке М относительно прямой р. Для этого надо из точки М опустить на прямую р перпендикуляр, (точку пересечения назовем Р), продолжить его за точку Р и отложить на нем отрезок РМ₁, длина которого равна МР. Полученная фигура F₁ является зеркальным отражением фигуры F относительно прямой р (рис. 10а).

Прямая р называется осью симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой р также принадлежит фигуре, а фигура F в этом случае симметрична относительно прямой р (рис. 10б). У фигуры может быть несколько осей симметрии (рис. 10в). Осью симметрии угла является его биссектриса. Осями симметрии прямой являются сама прямая и любая перпендикулярная ей прямая. У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии, у равностороннего их три. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии. У квадрата осей симметрии четыре – прямые, на которых лежат диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно его сторонам (рис. 10г). У окружности осью симметрии является любой ее диаметр. Осей симметрии у фигуры может и не быть (рис. 10д).

Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преобразование, обратное движению, снова является движением.

При движении прямые переходят в прямые, а углы сохраняются.