Основные построения с помощью циркуля и линейки

Нам понадобится умение выполнять следующие простейшие построения.

а) Построить треугольник с данными сторонами a, b и c (каждый из отрезков меньше суммы двух других отрезков, но больше их разности (рис. 1а).

б) Поделить пополам угол, дугу (рис 1б).

в) Поделить пополам отрезок (рис 1в).

У каждого треугольника есть 4 замечательные точки: точка пересечения его 3-х высот, точка пересечения биссектрис его углов (центр вписанной окружности), точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон (центр описанной окружности) и точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника – именно эту точку обычно и называют центром треугольника). У равностороннего треугольника все эти 4 точки совпадают. Так как у равностороннего треугольника все углы равны, а сумма углов любого треугольника равна 180°, углы равностороннего треугольника равны 60°.

г) Построить равносторонний треугольник и его центр.

Строим треугольник, у которого стороны равны, затем находим середины его сторон и соединяем их с противоположными вершинами (рис 1г).

Равносторонний треугольник лежит в основе построения многих симметричных фигур и узоров. Его пропорции проглядываются в очерках маковок (рис. 2а), арок и куполов (рис. 2б).

д) Построить сетку из равносторонних треугольников (рис. 2в). Такая сетка может служить основой узора.

Для того, чтобы построить сетку из равносторонних треугольников, строим треугольник, у которого все стороны равны, затем на его стороне, как на основании, строим еще один равносторонний треугольник. Получаем ромб. Продолжив процесс, как это показано на рисунке 2в, получаем сетку из равносторонних треугольников.

Напомним основные свойства ромба - параллелограмма, у которого все стороны равны. Точка пересечения диагоналей ромба делит их пополам (это верно для всех параллелограммов). Диагонали ромба ортогональны друг другу и делят пополам углы ромба. Острый угол построенного ромба равен 60°, тупой 120°.

Построить такую сетку на клетчатой бумаге без циркуля невозможно: расстояние между горизонталями (высота равностороннего треугольника) и длина стороны треугольника несоизмеримы друг с другом - отношение их длин есть число иррациональное, его нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n.

Соотношение между высотой равностороннего треугольника и его стороной легко найти с помощью теоремы Пифагора. При построении равностороннего треугольника со стороной а мы проводили дуги окружности радиуса R= а. Следовательно, АВ=R= а, АС=R= а, АО=R/2= а/2 и согласно теореме Пифагора СО= , . Всякое иррациональное число можно с требуемой точностью заменить на рациональное. На рисунке 3а в качестве рационального приближения для числа взята дробь (точность около 3%)

Если бы их отношение было рациональным числом, равным , то, проведя ряд горизонтальных прямых на расстоянии m клеток друг от друга, и отметив на них точки на расстоянии n клеток друг от друга, мы получили бы желаемую сетку. На рисунке 3а изображены оба треугольника - с высотой (жирной чертой), построенный с помощью циркуля, и с рациональной высотой, равной 5/6, построенный по клеткам.

Еще пифагорейцы (основатель школы пифагорейцев Пифагор жил в VI в. до н. э.) открыли, что есть отрезки, для которых не существует общей меры - такого отрезка, который целое число раз откладывался бы на обоих отрезках. То есть отношение их длин не выражается отношением целых чисел. Они знали, что таким свойством обладают диагональ квадрата и его сторона. Диагональ квадрата сторона которого равна а, согласно теореме Пифагора, равна а (рис. 3б). Несмотря на недоумение, которое вызывали у древних подобные объекты, они широко ими пользовались, используя для их построения циркуль. Рисунок 3б демонстрирует, как с помощью циркуля построить число a .

Пропорции на основе числа пользовались большой популярностью в готической архитектуре. Рисунок 3в демонстрирует построение так называемого «рыбьего пузыря». Это построение позволяет получить равносторонний треугольник, провести перпендикуляр к данной прямой и построить чертеж арки, изображенной на рисунке 2б. Для церковных зданий готической архитектуры характерно отношение длины здания к ширине, определяемое пропорциями «рыбьего пузыря»: CD: AB= : 1»1, 73: 1 (CD=2СО= ).

При вычерчивании арок и очерков куполов используются не только дуги, центры которых совпадают с концами отрезка, как на рисунке 2а, но и дуги, центры которых расположены внутри или вне отрезка (рис. 4а, б).

Еще в VI в. до н. э. греческий математик Теэтет обосновал иррациональность всех чисел вида , где N - целое число, не являющееся точным квадратом. На рисунке 4в приведен способ последовательного построения чисел .