Примеры решения задач. 1.Сумма первых n членов натурального ряда: 1+2+3+ +n= (натуральный ряд – арифметическая прогрессия у которой а1=1

1.Сумма первых n членов натурального ряда: 1+2+3+…+n= (натуральный ряд – арифметическая прогрессия у которой а₁=1, d=1).

2.Сумма первых n членов ряда нечетных чисел: 1+3+…+(2n-1)=n², так как последовательность нечетных чисел - арифметическая прогрессия, у которой а₁=1, d=2.

3.Рабочему поручили вырыть колодец и условились платить ему за первый метр глубины 100 руб., за второй – 300 руб. и т.д., увеличивая плату за каждый следующий метр на 200 рублей. Сколько надо заплатить рабочему, если он вырыл колодец на глубину 10 м?

Решение:

Числа 100, 300, 500… (плата за 1-ый, 2-й, 3-й метр глубины) образуют арифметическую прогрессию, у которой а₁=100, d=200. Плата за весь колодец – сумма ее первых 10 членов. Подставляем в формулу наши данные:

S₁₀=0, 5(2× 100+9× 200)× 10=10000

4.При хранении бревен их уложили так: положили на землю 12 бревен, на них сверху в пазы нижнего ряда 11 бревен и т.д. до тех пор, пока пирамида не закончится одним бревном (см. рисунок 1). Сколько бревен в такой кладке? Сколько бревен в кладке, начинающейся с 8 бревен?

Решение:

Числа 12, 11, 10,, 1 - количество бревен на 1-м, 2-м, 3-м, …, 12-м уровне, образуют арифметическую прогрессию, для которой а₁=12, a₁₂=1. Для того, чтобы найти сумму S₁₂, воспользуемся формулой: S_n=(а_n+a₁)n/2

S₁₂=6× (12+1)=78;

Аналогично, если кладка начинается с 8 бревен, то n=8, S₈=4× (8+1)=36.