Глава 2. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Метод полной индукции

В основе всякого научного исследования, в том числе и математического, лежат дедуктивный и индуктивный метод. Дедукция – переход от общего к частному. Примером рассуждения такого типа в математике является, например, такое рассуждение: данная фигура прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны. Индукция – вид обобщений, связанных с предвосхищением результатов наблюдений и экспериментов на основе уже имеющихся данных. Индуктивный подход обычно начинается с анализа данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Конечно, для практики характерны обобщения на основе исследования не всех случаев, а только некоторых. Такие обобщения называются неполной индукцией. Неполная индукция может привести к ошибочным результатам. Если же общее утверждение удается доказать во всех возможных случаях, то такая индукция называется полной. Провести проверку утверждения для бесконечного числа случаев позволяет метод рассуждений, называемый методом математической индукции. Метод состоит в том, что для того, чтобы доказать, что утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, надо проверить выполнение 2-х условий:

а) утверждение справедливо при n=1;

б) из справедливости утверждения для конкретного значения n=k вытекает его справедливость и для следующего за ним значения n=k+1.

Смысл рассуждения очень простой. Сначала убеждаемся, что утверждение верно для n=1. Если удается показать, что из справедливости утверждения для конкретного значения n=k вытекает его справедливость и для следующего за ним значения n=k+1, то из того, что утверждение верно для n=1, получается, что оно верно и для следующего натурального значения n=2, из этого следует, что оно верно и для следующего натурального значения n=3 и т.д. Тем самым, оно верно для любого n.

Пример

Доказать, что при любых натуральных n справедливо:

S_n=1+3+5+7+…+(2n-1)=n²

Доказательство:

а)S₁=1=1², следовательно, утверждение верно для n=1.

б)Пусть утверждение верно для натурального числа, n=k, то есть:

S_k=1+3+5+…+(2k-1)=k²

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, то есть докажем, что:

S_k+1=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

Для этого воспользуемся тем, что для значения k верно:

S_k=1+3+5+…+(2k-1)=k².

S_k+1=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=S_k+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²

Тем самым, формула верна для всех натуральных n.