Бесконечные прогрессии

Сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

(так как при q< 1 )

Легко видеть, что для бесконечной прогрессии с_i, члены которой суть разность членов геометрической прогрессии имеем:

Пример

1. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q=1/2.

Выпишем несколько первых членов этой прогрессии и формулу ее n-ого члена:

Согласно формуле имеем:

Геометрическая прогрессия c_i, членами которой являются разности членов этой прогрессии: Ее сумма S=1.

Нарисуем окружность радиуса r₁=R и центром О. Зададим некоторый коэффициент q< 1 и нарисуем вокруг того же центра О окружности радиуса r₂=Rq, r₃=Rq², r₄=Rq³, …, r_n=Rq^n-1 . Значения радиусов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q и b₁=R. С ростом номера окружности радиусы окружностей становятся все меньше.

На рисунке 2а изображены 4 окружности, построенные по этому алгоритму для q=1/2. Ширина колец между окружностями – также геометрическая прогрессия с тем же знаменателем q=1/2. А формула получает геометрический смысл – кольца в совокупности покроют всю окружность. На рисунке 2б то же построение выполнено для квадратов. На рисунке 2в приведено построение последовательности отрезков, длины которых образуют геометрическую прогрессию: a, aq, aq², aq³, aq⁴. Мы воспользовались тем, что прямоугольники, у которых длины сторон равны величине двух соседних членов прогрессии, подобны (отношение длин их сторон равно q), следовательно, их вершины лежат на одной прямой, проходящей через их диагональ. Теперь рассмотрим случай, когда ширина концентрических колец образует прогрессию с b₁=R и q< 1. Сначала рисуем окружность радиуса R, затем отмечаем ширину кольца, равную Rq, полученным радиусом (он равен R+Rq) проводим вторую окружность, отмечаем ширину кольца Rq²_, полученным радиусом (R+Rq+Rq²) проводим третью окружность и т.д. С помощью этого алгоритма можно построить бесконечное количество концентрических окружностей. Все они впишутся в окружность, радиус которой вычисляется, как сумма бесконечной геометрической прогрессии:

На рисунке 2г изображены первые 4 окружности, построенные по этому алгоритму, для q=1/2. Приведенная формула показывает, что для q=1/2 суммарная площадь всех колец S=2R. На рисунке 2д приведено то же построение для квадратов. Для длины стороны квадрата верны те же формулы, что и для радиуса окружности. Следовательно при q=1/2 вся конструкция впишется в квадрат, сторона которого вдвое больше стороны первоначального квадрата. Для сравнения на рисунках 2е и 2ж изображены 4 окружности и 4 квадрата, размеры радиусов и сторон которых определяются арифметической прогрессией.

Рис. 3: Пределы и самоподобие в гравюрах М. Эшера

Рис. 3а: Пределы и самоподобие в гравюрах М. Эшера