Примеры решения задач. 1.Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части

1.Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

Решение:

Обозначим через x первоначальное количествоинфузорий. После 1-ого деления их стало 2 х, после второго 2× 2× x, после третьего 2× 2× 2× x, и т.д., после шестого 2⁶ х =64 х =320. Отсюда х =5, т. е. с самого начала было 5 инфузорий.

2. Частота колебаний каждой конкретной ноты (до, до диез, ре, ми бемоль, ми и т.д. – всего 12 нот) при переходе к следующей октаве увеличивается вдвое. Октава делится на 12 равных интервалов-полутонов. Частота каждого последующего звука больше частоты предыдущего в »1, 0595 раз (корень степени 12 из числа 2 можно извлечь с помощью таблиц или инженерного калькулятора). Во сколько раз нота ми выше ноты до той же октавы?

Решение:

Нота ми выше ноты до той же октавы на 4 полутона (2 черные клавиши и 2 белые). Следовательно, ее частота выше частоты ноты до в ≈ 1, 0595⁴»1, 26 раз.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

(формула также легко доказывается методом математической индукции, желающие могут в качестве упражнения провести доказательство самостоятельно).

Пример

Согласно древней легенде индийский царь Шерам был восхищен новой игрой – шахматами и предложил ее изобретателю мудрецу Сете любую награду. Сете попросил плату пшеницей, исходя из следующего расчета: за первую клетку заплатить одно зерно, за вторую – 2 зерна, за третью 4 зерна и т.д. – за каждую следующую клетку дать в 2 раза больше зерен, чем за предыдущую. Сколько зерен попросил Сете?

Решение:

Последовательность чисел – число зерен на клетке, является геометрической прогрессией, для которой b₁=1, q=2. Надо найти S_n для n=64. Подставляем в формулу.

S₆₄=(2⁶⁴-1): (2-1)=2⁶⁴-1.

Для того, чтобы оценить эту величину, вспомним, что 2¹⁰=1024»10³, 2⁴=16, следовательно, 2⁶⁴-1»(10³)⁶× 16=10¹⁹× 1, 6. Для вычисления точного значения этого числа нельзя воспользоваться калькулятором, так как это число содержит 20 цифр, а калькулятор содержит только 8 первых точных цифр. Можно вычислить, что если бы такое число зерен рассыпать равномерно по всей земной суше, то образовался бы слой пшеницы толщиной около 9 мм.

Рассмотрим последовательность, члены которой суть разность соседних членов геометрической прогрессии:

c₁ =b₁-b₂=b₁(1-q)

c₂ =b₂-b₃=b₂(1-q)=b₁q(1-q)=b₁(1-q)q=c₁q

c₃ =b₃-b₄=b₃(1-q)=b₁q²(1-q)=b₁(1-q)q²=c₂q=c₁q²

………

с_n=b_n-b_n+1 =c_n-1q₌c₁q^n-1 (легко доказать методом полной индукции)

Разность соседних членов геометрической прогрессии, таким образом, есть также геометрическая прогрессия, первый член которой равен разности 2-х первых членов первой прогрессии b₁(1-q), а знаменатель совпадает со знаменателем первой прогрессии, то есть равен q.

Сумма S_n первых n членов такой прогрессии равна:

Заметим, что разность членов арифметической прогрессии есть величина постоянная, равная разности арифметической прогрессии d (вырожденная прогрессия).