Использование приближенных формул и таблиц, когда n велико

Расчеты по формулам сложных процентов при больших n становятся затруднительными. В этом случае хорошую оценку наращенного значения позволяет получить следующая формула, верная при больших значениях х:

, где е =2, 7182818… - одна из важнейших констант в математике.

Значок» означает в данном случае, что чем больше х, тем меньше разница между правой и левой частью выражения. Эту же формулу можно записать следующим образом:

, но уже если значение у мало.

С помощью элементарного преобразования из этих формул можно получить такие формулы:

Пример

Вклад величины S положен в банк под 5% годовых. Начисление процентов производится в конце года от всей накопившейся суммы (сложная схема). Во сколько раз увеличится вклад через 20 лет, через 40 лет?

Решение:

S₂₀=S(1+0, 05)²⁰=S(1+5: 100)^{100: 5}»S× e

S₄₀=S(1+0, 05)⁴⁰=S(1+5: 100)^{(100: 5)× 2}»S× e²

Т. е., за 20 лет вклад вырастет примерно в е»2, 72 раза, за 40 лет в е²»7, 39 раз.

Для облегчения расчетов создано множество таблиц и пакетов прикладных программ. В качестве примера приводим таблицу, в которой указаны значения множителя наращения , использующегося в формулах наращения по сложным процентам для наиболее часто используемых процентов и числа периодов наращения n.

Такая таблица не только избавляет от вычисления высоких степеней в задаче вычисления накопленного капитала, но и позволяет дать оценки при решении обратной задачи – за сколько периодов капитал увеличится в k раз.

Таблица демонстрирует быстрый рост множителя наращения при больших n (капитал лежит очень много лет).

Попробуем с помощью таблицы оценить, каким стал, например, такой вклад. Царское правительство во время 1-ой мировой войны в счет платы за закупленное за рубежом оружие переправило в банки Японии и ряда других стран большое количество золота. Оружие получено не было, вклады остались в банках. Переправлялся за границу и государственный золотой запас России, составлявший 2, 5 тыс. тонн золота. В современных ценах это примерно $40 млрд. С тех пор прошло больше 80 лет. Таблица позволяет оценить, во сколько раз увеличилась за это время вложенная сумма. При росте на 6% в год эта сумма выросла в 100 раз. Некоторые эксперты оценивают современную стоимость вклада в 4 триллиона долларов, что и демонстрирует наша таблица (стоит заметить, что ни судьба, ни сумма вкладов неизвестны).

Или такой пример. 350 лет назад за остров Манхеттен было уплачено 24 доллара. Современная его стоимость 40млрд. долларов. То есть за 350 лет произошло увеличение его стоимости в 1, 7млрд. раз. Какой годовой ставке процента соответствует такой рост? Таблица (более подробная, чем наша) показывает, что эта ставка приблизительно равна 6% (точный ответ – 6, 3%).

Таблица 1: Множители наращения (сложные проценты) (1 + )ⁿ

n	Ставка процентов p – множитель наращения (1+ )n
	1, 01	1, 02	1, 03	1, 04	1, 05	1, 06	1, 07	1, 08	1, 1	1, 12	1, 15	1, 2
	1, 02	1, 04	1, 06	1, 08	1, 10	1, 12	1, 14	1, 17	1, 21	1.25	1, 32	1, 44
	1, 03	1, 06	1, 09	1, 13	1, 16	1, 19	1, 22	1, 26	1, 33	1, 40	1, 52	1, 73
	1, 04	1, 08	1, 13	1, 17	1, 22	1, 26	1, 31	1, 36	1, 46	1, 57	1, 75	2, 07
	1, 05	1, 10	1, 16	1, 22	1, 28	1, 34	1, 40	1, 47	1, 61	1, 76	2, 01	2, 49
	1, 06	1, 13	1, 19	1, 26	1, 34	1, 42	1, 50	1, 59	1, 77	1, 97	2, 31	2, 99
	1, 07	1, 15	1, 23	1, 32	1, 41	1, 50	1, 60	1, 71	1, 95	2, 21	2, 66	3, 58
	1, 08	1, 17	1, 27	1, 37	1, 48	1, 59	1, 72	1, 85	2, 14	2, 48	3, 06	4, 30
	1, 09	1, 19	1, 30	1, 42	1, 55	1, 69	1, 84	2, 00	2, 26	2, 77	3, 52	5, 16
	1, 1	1, 22	1, 34	1, 48	1, 63	1, 79	1, 97	2, 16	2, 59	3, 11	4, 05	6, 19
	1, 22	1, 49	1, 81	2, 19	2, 65	3, 21	3, 87	4, 66	6, 73	9, 65	16, 4	38, 3
	1, 35	1, 81	2, 43	3, 24	4, 32	5, 74	7, 61	10, 1	17, 5		66, 2
	1, 49	2, 21	3, 26	4, 80	7, 04	10, 3		21, 7	45, 3
	1, 64	2, 69	4, 38	7, 11	11, 5	18, 4	29, 5	46, 9
	1, 82	3, 28	5, 89	10, 5	18, 7		57, 9					56 тыс
	2, 01		7, 92	15, 6	30, 4	59, 1					17 тыс	349 тыс
	2, 22	4, 86	10, 6								72 тыс	2 млн
	2, 45	5, 94	14, 3	34, 1	80, 7					26 тыс	290 тыс	13 млн
	2, 70	7, 24	19, 2	50, 5							1, 2 млн	83 млн
	7, 29	52, 4				115 тыс	753 тыс	4, 8 млн
			135 тыс	6, 5 млн	289 мл	13 млд	0, 6 трл

У всех на памяти последняя денежная реформа в нашей стране, позволившая избавиться от трех нулей во всех ценах. В течение нескольких лет имела место высокая ежемесячная инфляция, что привело к росту цен более, чем в 1000 раз. Из таблицы находим, что множитель наращения 1000 соответствует средней инфляции в 15% в месяц в течение 50 периодов (4 года), или инфляции 12% в течение 60 периодов (5 лет). Заодно определяем, что инфляция 15% в месяц – это увеличение цен за год в 4, 05× 1, 32=5, 35 раз, а для 12% в месяц – в 3, 11× 1, 25=3, 89 раз.