Составитель: кандидат технических наук И.Б. Чернышева

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИНСТИТУТ ИСКУССТВА РЕСТАВРАЦИИ

МАТЕМАТИКА

МОСКВА 2008

Для высших учебных заведений по специальности

070501 «Реставрация»

Составитель: кандидат технических наук И.Б. Чернышева

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1: Проценты... 6

Понятие процента. 6

Абсолютная и относительная погрешность. 6

Проценты вокруг нас. 7

Применение процентов в банковской практике. Начисление процентов на вклад по простой и сложной схеме. 8

Использование приближенных формул и таблиц, когда n велико. 9

Сравнение сложной и простой схемы.. 11

Глава 2: Арифметическая и геометрическая прогрессии.. 13

Метод полной индукции. 13

Арифметические прогрессии. 13

Геометрическая прогрессия. 15

Бесконечные прогрессии. 17

Глава 3: Геометрические построения в орнаментах и мозаиках.. 21

Основные построения с помощью циркуля и линейки. 21

Деление окружности на равные части с помощью циркуля и линейки. 23

Построение спирали Архимеда. 24

Построение логарифмической спирали. 26

Построение узоров в круге на основе сеток. 27

Симметрия подобия в круге. Сетка, обеспечивающая подобие. 28

Движения на плоскости – перенос, поворот на угол a, симметрии. 29

Симметрия в орнаментах. 30

Розетки. 30

Бордюры.. 32

Решетки. 32

Симметричные мозаики (паркеты) 35

Глава 4: Пропорции.. 40

Понятие пропорции. 40

Преобразование подобия. Гомотетия. 40

Пропорция. Нормальный полиграфический лист. 41

Метод «квадрата и его диагонали» в русской архитектуре. Восьмерики. 42

Средние значения двух величин. 44

Золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении) 44

Последовательность Фибоначчи и золотое сечение. 48

Спираль Дюрера и «золотые» треугольники. 49

Золотая" пропорция и правильные многоугольники. 50

Золотая» прогрессия. «Золотые» модулеры.. 51

Производные «золота». 53

Глава 5: Немного о математике храмов Древней Руси (XI-XIIвв.) 57

Геометрические построения, применявшиеся древними мастерами. 59

Некоторые стандарты планировки интерьера храма. 60

Схема плана, основанная на делении поперечной оси в пропорции: 1: 2: 1: 4: 1: 2: 1. 64

Схема плана, поперечный разрез которого описывается с помощью чисел 1, 3, 5, 8, 13, 21 64

Построение “золотого” плана циркулем и линейкой. 65

Двухстолпный и бесстолпный храмы.. 67

План четырехстолпного храма. 68

Глава 6: Размерение сооружений имеющих " Золотые" пропорции.. 69

Модулер Корбюзье. 69

Меры древней Руси. 73

Глава 7: Измерение фигур. 76

Таблица перевода старых мер в современные единицы измерения. 76

Измерение температуры.. 77

Тригонометрические функции. 77

Решение треугольников. 78

Площади плоских фигур. 79

Многогранники. 79

Правильные многогранники. 80

Правильные пирамиды.. 80

Египетские пирамиды.. 81

Объемы фигур. 82

Площади боковых поверхностей. 84

Глава 8: Метод координат.. 87

Декартовы координаты.. 87

Векторы на плоскости. 88

Полярная система координат. 89

Связь между декартовыми координатами и полярными. 90

Линии и их уравнения. 91

Уравнение спирали Архимеда. 92

Уравнение логарифмической спирали. 92

Декартова система координат в трехмерном пространстве. 93

Векторы в трехмерном пространстве. 94

Сферические координаты.. 94

Сферические координаты в географии. 95

Орнаменты на сфере. Изогнутые крыши. 95

Проекция сферы на плоскость. 100

Глава 9: Функции и графики.. 103

Понятие функции. 103

Элементарные функции. 104

Операции над графиками двух функций. 106

Уравнение прямой на плоскости. 107

Изменение уравнения линии при изменении системы координат. 107

Глава 10: Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка.. 111

Гипербола. 111

Парабола. 112

Эллипс как сжатая окружность. Каноническое уравнение эллипса. 113

Построение овала с помощью циркуля и линейки. Характеристический прямоугольник. Фокусы эллипса. 114

Эксцентриситет эллипса и параболы.. 116

Конические сечения. 117

Кривые второго порядка. 118

Проекции и конические сечения. 118

Поверхности второго порядка в пространстве. 119

Шары, эллипсоиды, конусы, цилиндры, параболоиды, гиперболоиды.. 119

Прямолинейные образующие. 121

Глава 11: Непрерывность функции. Производная и кривизна.. 123

Понятие предела. 123

Непрерывность функции. Точки разрыва функции. 124

Производная и ее геометрический смысл. 125

Основные правила дифференцирования. 125

Производные высших порядков. 126

Роль производных в приближенных вычислениях. 126

Производная и скорость изменения функции. Скачок производной. 127

Знак производной и монотонность функции. Обращение производной в ноль. 128

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. 130

Выпуклые, вогнутые и кровли с перегибом.. 130

Кривизна дуги. 132

Глава 12: Интегральное исчисление.. 135

Неопределенный интеграл. 135

Основные методы интегрирования. 135

Определенный интеграл. Задача о площади. 136

Вычисление определенного интеграла. 137

Вычисление длин дуг. 138

Вычисление площади и длины дуги в полярных координатах. 138

Вычисление длины окружности и площади круга и эллипса. 138

Объем тела вращения. 139

Площадь поверхности вращения. 140

Ответы к задачам... 142

Приложение.. 144

Таблица значений тригонометрических функций. 144

Курсовое задание. 145