Примеры решения задач. 1.Стена должна быть раскрашена по трафаретам (рис

1.Стена должна быть раскрашена по трафаретам (рис. 11): а) фон – белый, расстояние между полосами втрое шире полосы, полосы чередуются – одна зеленая, одна – розовая; б) фон серый, узоры голубые; в) фон белый, круги - зеленые. В какой пропорции нужно взять краску?

Решение:

а) На 1 кг зеленой краски должен приходиться 1 кг розовой и 6 кг белой (постоянно повторяющийся орнамент – зеленая полоса, тройная белая, розовая полоса и еще одна тройная белая).

б) Узор состоит из 2-х параллелограммов, площадь каждого из которых равна 1/2× 1/2=1/4 (если расстояние между линиями сетки единица). Следовательно, в занятых ячейках половина серой и половина голубой краски, каждая вторая ячейка целиком серая, следовательно, на 3 части серой краски приходится 1 часть голубой.

в) На этом трафарете, как мы уже говорили в предыдущей главе, изображена укладка кругов, которая называется наиболее плотной.

Для того чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, заметим, что вся плоскость (влияние краев рассматривать не будем) покрыта равносторонними треугольниками со стороной 2r, где r - радиус круга. Площадь такого треугольника S равна:

×

Эта площадь делится на две части - 3 сектора круга с углом 60° каждый, что в совокупности составляет половину круга радиуса r, – эта площадь закрашивается зеленой краской. Оставшаяся часть закрашивается белым. Зеленая часть составляет от общей площади

Никакое другое расположение кругов не позволяет добиться лучшего заполнения плоскости кругами, то есть круги никогда не будут занимать больше, чем 90, 8% площади.

Таким образом, зеленая краска должна составлять примерно 91%, а белая – немного больше, чем 9% от всей краски. Тем самым зеленой надо взять в 0, 908: 0, 092=9, 87 раз больше, чем белой.

2. Во сколько раз больше уместится воды в кубический аквариум, чем в цилиндрический той же высоты и шаровой, если его ребро равно диаметру d цилидрического и шарового аквариума?

Решение:

Объем кубического аквариума V₁=d³, объем цилиндрического аквариума V₂=dp(d/2)²=d³× p/4, а объем шарового аквариума V₃=1/6× p× d³. Следовательно, V₁: V₂=4/p»1, 27 и V₁: V₃=6/p»1, 91 – почти вдвое.

3. В две одинаковые рюмки, имеющие форму конуса, налили вино. Одну наполнили до краев, вторую - до половины высоты. Во сколько раз в первой рюмке больше вина?

Решение:

По формуле объема конуса:

4. Одна рюмка имеет форму цилиндра, другая – конуса. Они имеют одинаковую высоту и одинаковый диаметр верхнего края. Во сколько раз больше вина вмещает цилиндрическая рюмка?

Ответ вытекает из формулы объема цилиндра и конуса с одинаковой высотой h и одинаковой площадью основания S. В цилиндрическую рюмку уместится вина в 3 раза больше.