Площади боковых поверхностей

Для пирамид боковая поверхность вычисляется по формуле площадей треугольников, у которых высотой являются перпендикуляры, опущенные из вершины на стороны основания (ее мы даже не приводим). Площадь боковой поверхности S круглого прямого конуса c образующей l и радиусом основания r вычисляется по формуле: S=p rl. Для того чтобы понять, почему это так, развернем конус и положим его на плоскость (рис. 12а). Для конуса (в отличие от шара) эта операция возможна, конус состоит из прямолинейных образующих. Разрежем всю поверхность, разложенную на плоскости, на много узеньких секторов. Каждый сектор – почти треугольник. Для площади треугольника S_{Δ -ка} имеет место формула S_{Δ -ка}=1/2hD, где D - основание треугольника, а h – его высота. Площадь конуса равна сумме площадей всех треугольников, на которые он разбит.

, где h≈ l, а s=2π r – приблизительно длина периметра основания. Чем больше число секторов, тем ближе h к величине l, а s - к периметру основания. Так что в пределе получим нужную формулу. С помощью развертывания боковой поверхности на плоскости выводится и формула для вычисления площади боковой поверхности прямого цилиндра (образующая прямого цилиндра перпендикулярна плоскости основания). Если развернуть прямой цилиндр, то получится прямоугольник, откуда и получается формула: S= ls, где l – длина образующей цилиндра, а s – периметр основания (рис. 12б). Основание может иметь любую форму (строго говоря, основание должно быть измеримой фигурой). Если развернуть непрямой цилиндр, то получится параллелограмм с изогнутыми в виде синусоиды основаниями, а не прямоугольник. Его площадь зависит от угла наклона цилиндра, или его высоты (рис. 12в).

Для вычисления боковой поверхности, а также объема наклонного цилиндра, можно воспользоваться двумя формулами – одна зависит от образующей и сечения, перпендикулярного к образующей, другая – от основания и высоты:

S=ph=sl (p – периметр основания, h – высота, s – периметр сечения, перпендикулярного к образующей, l – образующая)

V=Fh=Ql (F – площадь основания, Q – площадь сечения, перпендикулярного к образующей

Площадь поверхности шара S=4pr². Шар развернуть на плоскости нельзя. Поэтому для шара нельзя провести такие же рассуждения, какие мы провели для конуса и цилиндра, и для него формулу S=4pr² мы выведем с помощью других рассуждений. Построим проекцию шара на плоскость следующим образом. Опишем вокруг шара круговой цилиндр того же радиуса и будем проектировать точки шара на поверхность цилиндра при помощи прямых, перпендикулярных к цилиндру. Если разрезать цилиндр вдоль одной из образующих и развернуть его на плоскости, то мы получим изображение шара на плоскости, обладающее тем замечательным свойством, что оно сохраняет площади (хотя и искажает изображение). Показав это, мы заодно выведем формулу для площади поверхности шара.

Доказательство достаточно провести для " бесконечно малых" кусков поверхности шара. В силу круговой симметрии шара в качестве таких кусков можно взять поверхности узких круговых сегментов шара. Возьмем такой сегмент на широте a (a - угол радиуса с горизонтальной плоскостью – см. рис. 13а). Его площадь S=2prDs, где r – радиус сегмента, Ds – длина куска меридиана. Для " широты" a r=Rcosa, а Ds=Dh/cosa. Таким образом, S=2pRDh, и этой же величине равна площадь полоски на цилиндре, которая является проекцией сегмента. Следовательно, площади сегмента и его проекции равны друг другу, а площадь всего шара равна боковой поверхности цилиндра, образующая которого равна 2R, то есть она равна 2R× 2pR=4pR² (рис. 13б). Заодно мы получили формулу величины боковой поверхности любого сегмента шара S. Она равна 2pRh, где R – радиус шара, а h – высота сегмента (рис. 13в). Таким образом, величина боковой поверхности сегмента зависит только от его высоты и, конечно, от радиуса шара.

Можете ли вы решить задачу из рукописи XVII века?

1. Окрест некоего града бяше водный ров, имеющий внешнее окружение 440 аршин, широта же его 14 аршин, и ведательно есть, колико аршин имать по внутреннему окружению? (в качестве приближения для p взять ). Ответ: 352аршин.