Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Неопределенный интеграл






В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную. В интегральном исчислении решается обратная задача: дана функция f(x), которая является производной функцией некоторой функции F(x), и по функции f(x) будем искать ее первообразную F(x).

Первообразной функцией для данной функции f(x) называется функция F(x), производная которой равна f(x), или дифференциал которой равен f(x)dx, то есть F'(x)=f(x), или dF(x)=f(x)dx.

Так, например, для функции f(x)=3x2 первообразной будет F(x)=x3, так как (x3)'=3x2 то есть F'(x)=f(x).

Не всякая функция f(x) имеет первообразную, но если, например, функция f(x) – непрерывна на интервале, то она имеет на нем первообразную. Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например, функция F(x)=x3 есть первообразная для f(x)=3x2, но функция F1(x)=x3+5 также будет первообразной для 3x2, так как F'1(x)=(x3+5)'=3x2. Вообще любая функция x3+с, где с – произвольная постоянная, имеет производную 3x2 и потому будет первообразной для 3x2. Выражение: F(x)+c представляет собой общий вид первообразных для f(x).

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается:

Отыскание неопределенного интеграла называют интегрированием функции f(x). Если функцию f(x) проинтегрировать, а затем продифференцировать, то получим снова функцию f(x). Действительно, так как (F(x)+c)'=f(x), то .

Таким образом, дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Перечислим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, то есть:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть:

Чтобы проверить эти свойства, достаточно продифференцировать обе части равенства.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал