Вычисление длины окружности и площади круга и эллипса

Проиллюстрируем только что изложенные методы вычисления площадей и длин дуг на простых, но очень важных примерах.

В полярных координатах уравнение окружности радиуса R имеет вид: r(j)=R, следовательно, r'(j)=0 и длина окружности s:

А площадь круга S вычисляется по формуле:

Для того, чтобы вычислить площадь эллипса, уравнение которого нам известно в декартовых координатах в форме: , разрешим уравнение относительно у: . Вычислим отдельно площади фигур, для которых и . Рисунки 1г и 1д нам демонстрируют, что на интервалах, на которых значение функции отрицательно, значение интеграла тоже отрицательно. Но площадь – величина положительная, следовательно, для таких участков интегрирования, площадь равна не интегралу, а его модулю. Следовательно,

Значение первообразной интеграла мы нашли в справочнике.

Заметим, что если бы мы этим же способом вычисляли площадь круга радиуса а, отличие формул было бы только в множителе b/a, и мы получили бы для площади значение p а². Результат понятный, так как для того, чтобы получить из окружности эллипс, надо произвести сжатие пространства вдоль оси OY c коэффициентом сжатия b/a. Аналитически это описывается переходом к другим координатам. Для периметра L эллипса с полуосями a и b можем предложить только приближенную формулу: