Определенный интеграл. Задача о площади

Рассмотрим задачу о вычислении площади фигуры ABCD, изображенной на рисунке 1а. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Разобьем отрезок [a, b] на n частей (например, равных). Проводя через точки деления вертикальные прямые, мы получим разбиение криволинейной трапеции ABCD на n малых криволинейных трапеций (рис. 1а).

Если обозначить через S площадь всей криволинейной трапеции, а через DS_i – площадь i-ой малой криволинейной трапеции, то очевидно:

S=DS₁+DS₂+…+DS_n. Это сумму записывают так: .Заменим теперь площадь i-ой малой криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основание которого совпадает с основанием трапеции, а высота равна значению функции f(x) в конце интервала. Конец i-ого интервала мы будем обозначать через x_i: DS_i~f(x_i)Dx. Тогда искомая площадь приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

Ясно, что чем меньше длина промежутков Dх, тем точнее ступенчатая фигура приближает нашу криволинейную трапецию. Вполне естественно за точное значение площади S принять предел последовательности площадей ступенчатых фигур, когда n®¥ (при этом длины интервалов разбиения Dх стремятся к нулю). Предел суммы вида: , если он не зависит от разбиения и существует, называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ a, b ]. Определенный интеграл обозначается символом:

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подинтегральной функцией, а отрезок [ a, b ] – областью интегрирования.

Если функция f(x) – непрерывна на отрезке[ a, b ], то определенный интеграл существует (достаточное условие).

Возвращаясь к задаче о площади, которую мы решали, мы видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), где f(x)³ 0 на всем отрезке [ a, b ], численно равна определенному интегралу . Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.