Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Б) Независимость системы аксиом
|
|
Независимость, как и непротиворечивость, представлен двумя определениями. Введем понятие внешней независимости. Для этого возьмем произвольную систему аксиом и относительно нее дадим определение внешней независимости.
Итак, имеем систему аксиом: А1, А2,..., Аn-1 (I).
Тогда: Аксиома Аi называется независимой от остальных аксиом данной системы, если существует такая интерпретация системы аксиом А1,..., Аi-1, Аi+1,..., Аn, (II), в которой все аксиомы (II) истинны, а аксиома Аi – ложна.
Внутренняя независимость определяется так: Аксиома Аi внутренне независима от остальных аксиом (то есть аксиом II), если она не может быть из них выведена
Сопоставим оба приведенных определения. Предположим, что аксиома Аі независима от остальных аксиом системы в первом смысле. В таком случае существует интерпретация, в которой все аксиомы (ІІ) истинны, но аксиома Аі – ложна. Это означает что она не может быть выведена из остальных аксиом. Если бы она была выводима, то была бы истинной во всех интерпретациях, в которых истинны аксиомы (ІІ).
Из сказанного следует, что если какая-либо аксиома независима в первом смысле, то она должна быть независимой во втором смысле.
Дадим теперь определение зависимой аксиомы: Аксиома Аі зависит от остальных аксиом А1,..., Аі-1, Аі+1,..., Аn, если любая их интерпретация, в которой они истинны, удовлетворяет и системе с аксиомой Аі.
Понятия непротиворечивости и независимости системы аксиом имеют большое значение для теорий высокой степени абстрактности. В первую очередь это касается математических теорий.
Если мы используем определенную систему аксиом, то критерием ее надежности как раз и выступает их непротиворечивость и независимость. Ведь, как известно, в противоречивой теории на существует водораздела между истиной и ложью, в ней невозможно что-либо доказать, поскольку можно доказать все что угодно.
К внутренней независимости обращаются в тех случаях, когда возникает необходимость избавиться от лишних аксиом. В истории науки хорошо извнстна ситуация с пятым постулатом (постулатом о параллельных) геометрии Евклида, где использование принципа независимости в конечном счете сыграло решающую роль.
Решение проблемы пятого постулата продолжалось на протяжении многих веков и шло в русле попыток выведения его из остальных постулатов геометрии Евклида. Однао все попытки его выведения оказались безрезультатными. И только Лобачевському удалось найти правильный подход к данной проблеме. Он высказал мысль о независимости пятого постулта от остальных постулатов, что впоследствии было строго доказано как раз с использованием понятия интерпретации (модели). В проективной геометрии была построена такая система объектов, которой удовлетворяли все постулаты, кроме постулата о параллельных.
Таким образом, металогические принципы, кроме сугубо специального содержания для логики предикатов, имеют еще и общеметодологическое научное содержание.